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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.36

§ 173. Weitere Untersuchungen über die Unmöglichkeit der Diophantischen Gleichung $\alpha ^{m}+\beta ^{m}+\gamma ^{m}=0$.

Der Beweis der Unlösbarkeit der Gleichung $\alpha ^{l}+\beta ^{l}+\gamma ^{l}=0$ in ganzen Zahlen $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ des Kreiskörpers der $l$-ten Einheitswurzeln ist von Kummer noch in dem Falle erbracht worden, daß $l$ eine Primzahl ist, die in der Klassenanzahl $h$ des Kreiskörpers $k\left(\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}\right)$ zur ersten, aber nicht zu einer höheren Potenz aufgeht, wenn außerdem die Einheiten noch gewisse Bedingungen erfüllen [Kummer (16^[1])]. Unter Berücksichtigung der Bemerkung auf S. 285 läßt sich insbesondere zeigen, daß die Fermatsche Behauptung für jeden Exponenten $m\leqq 100$ richtig ist. Die Aufgabe, die Fermatsche Behauptung allgemein als richtig zu erweisen, harrt jedoch noch ihrer Lösung.

Es bleibt noch übrig, die Gleichung $\alpha ^{m}+\beta ^{m}+\gamma ^{m}=0$ für den Fall zu behandeln, daß der Exponent $m$ eine Potenz von $2$ ist. Die Gleichung $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ besitzt bekanntlich unendlich viele Lösungen in ganzen rationalen Zahlen $a$, $b$, $c$. Weiter gilt jedoch der Satz:

Satz 169. Wenn $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ganze Zahlen des durch $i={\sqrt {-1}}$ bestimmten quadratischen Körpers sind, von denen keine verschwindet, so gilt niemals die Gleichung

$\alpha ^{4}+\beta ^{4}=\gamma ^{2}$.

(201)

Beweis. Wir nehmen im Gegenteil an, daß es drei solche ganze Zahlen $a$, $\beta$, $\gamma$ gebe, welche diese Gleichung erfüllen. Es werde $\lambda =1+i$ und ${\mathfrak {l}}=(\lambda )$ gesetzt. Zunächst sehen wir dann leicht ein, daß notwendig eine der beiden Zahlen $\alpha$, $\beta$ durch $\lambda$ teilbar sein muß. In der Tat, nehmen wir an, daß $\alpha$ und $\beta$ prim zu $\lambda$ wären, und berücksichtigen wir, daß eine zu $\lambda$ prime ganze Zahl in $k(i)$ stets $\equiv 1$ oder $i$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$, ihre zweite Potenz dann $\equiv \pm 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{4}$ und ihre vierte notwendig $\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{6}$ sein muß, so folgt $\alpha ^{4}+\beta ^{4}\equiv 2$ nach ${\mathfrak {l}}^{6}$. Hiernach müßte $\gamma$ notwendig durch ${\mathfrak {l}}$ und durch keine höhere Potenz von ${\mathfrak {l}}$ teilbar sein. Setzen wir aber dementsprechend $\gamma =\lambda +\lambda ^{2}\gamma '$, wo $\gamma '$ wiederum eine ganze Zahl in $k(i)$ bedeute, so finden wir $\gamma ^{2}\equiv 2i$ nach ${\mathfrak {l}}^{4}$ und daher stets $\gamma ^{2}\not \equiv \alpha ^{4}+\beta ^{4}$ nach ${\mathfrak {l}}^{4}$, womit unsere Annahme widerlegt ist. Der Fall, daß beide Zahlen $\alpha$ und $\beta$ durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar sind, kann offenbar sofort ausgeschlossen werden, da dann $\gamma$ durch ${\mathfrak {l}}^{2}$ teilbar und somit das Fortheben der Potenz $\lambda ^{4}$ auf beiden Seiten der Gleichung (201) möglich wäre.

Es bleibt also nur die Annahme übrig, daß die eine der Zahlen $\alpha$, $\beta$, etwa die Zahl $\alpha$, durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar, die Zahlen $\beta$ und $\gamma$ dann aber zu ${\mathfrak {l}}$ prim sind. Wir setzen demgemäß $\alpha =\lambda ^{m}\alpha ^{*}$, wo $\alpha ^{*}$ eine zu $\lambda$ prime Zahl bedeute, und legen dann unserer Betrachtung sogleich die allgemeinere Gleichung

$\beta ^{4}-\gamma ^{2}=\varepsilon \lambda ^{4m}\alpha ^{*4}$

(202)

zugrunde, wo $\varepsilon$ eine beliebige Einheit in $k(i)$ bedeute. Wir entnehmen aus

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Einige Sätze über die aus den Wurzeln der Gleichung $\alpha ^{\lambda }=1$ gebildeten complexen Zahlen für den Fall, dass die Klassenanzahl durch $\lambda$ teilbar ist, nebst Anwendung derselben auf einen weiteren Beweis des letzten Fermatschen Lehrsatzes, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1857, S. 47–74 Internet Archive; Auszug in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, S. 275–282 Berlin-Brandenburgische Akademie

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 354. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/371&oldid=- (Version vom 9.9.2019)

1. Einige Sätze über die aus den Wurzeln der Gleichung $\alpha ^{\lambda }=1$ gebildeten komplexen Zahlen für den Fall, daß die Klassenanzahl durch $\lambda$ teilbar ist, nebst Anwendung derselben auf einen weiteren Beweis des letzten Fermatschen Lehrsatzes. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1857.^{[WS 1]}