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§ 173. Weitere Untersuchungen über die Unmöglichkeit der Diophantischen Gleichung .

Der Beweis der Unlösbarkeit der Gleichung in ganzen Zahlen , , des Kreiskörpers der -ten Einheitswurzeln ist von Kummer noch in dem Falle erbracht worden, daß eine Primzahl ist, die in der Klassenanzahl des Kreiskörpers zur ersten, aber nicht zu einer höheren Potenz aufgeht, wenn außerdem die Einheiten noch gewisse Bedingungen erfüllen [Kummer (16[1])]. Unter Berücksichtigung der Bemerkung auf S. 285 läßt sich insbesondere zeigen, daß die Fermatsche Behauptung für jeden Exponenten richtig ist. Die Aufgabe, die Fermatsche Behauptung allgemein als richtig zu erweisen, harrt jedoch noch ihrer Lösung.

Es bleibt noch übrig, die Gleichung für den Fall zu behandeln, daß der Exponent eine Potenz von ist. Die Gleichung besitzt bekanntlich unendlich viele Lösungen in ganzen rationalen Zahlen , , . Weiter gilt jedoch der Satz:

Satz 169. Wenn , , ganze Zahlen des durch bestimmten quadratischen Körpers sind, von denen keine verschwindet, so gilt niemals die Gleichung

. (201)

Beweis. Wir nehmen im Gegenteil an, daß es drei solche ganze Zahlen , , gebe, welche diese Gleichung erfüllen. Es werde und gesetzt. Zunächst sehen wir dann leicht ein, daß notwendig eine der beiden Zahlen , durch teilbar sein muß. In der Tat, nehmen wir an, daß und prim zu wären, und berücksichtigen wir, daß eine zu prime ganze Zahl in stets oder nach , ihre zweite Potenz dann nach und ihre vierte notwendig nach sein muß, so folgt nach . Hiernach müßte notwendig durch und durch keine höhere Potenz von teilbar sein. Setzen wir aber dementsprechend , wo wiederum eine ganze Zahl in bedeute, so finden wir nach und daher stets nach , womit unsere Annahme widerlegt ist. Der Fall, daß beide Zahlen und durch teilbar sind, kann offenbar sofort ausgeschlossen werden, da dann durch teilbar und somit das Fortheben der Potenz auf beiden Seiten der Gleichung (201) möglich wäre.

Es bleibt also nur die Annahme übrig, daß die eine der Zahlen , , etwa die Zahl , durch teilbar, die Zahlen und dann aber zu prim sind. Wir setzen demgemäß , wo eine zu prime Zahl bedeute, und legen dann unserer Betrachtung sogleich die allgemeinere Gleichung

(202)

zugrunde, wo eine beliebige Einheit in bedeute. Wir entnehmen aus

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Kummer, Ernst Eduard: Einige Sätze über die aus den Wurzeln der Gleichung gebildeten complexen Zahlen für den Fall, dass die Klassenanzahl durch teilbar ist, nebst Anwendung derselben auf einen weiteren Beweis des letzten Fermatschen Lehrsatzes, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1857, S. 47–74 Internet Archive; Auszug in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, S. 275–282 Berlin-Brandenburgische Akademie
  1. [359] Einige Sätze über die aus den Wurzeln der Gleichung gebildeten komplexen Zahlen für den Fall, daß die Klassenanzahl durch teilbar ist, nebst Anwendung derselben auf einen weiteren Beweis des letzten Fermatschen Lehrsatzes. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1857.[WS 1]