Im Falle
bilden wir die Zahlen
, ;
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dieselben lassen sich auch in der Gestalt von Brüchen schreiben, deren Zähler und Nenner zu
prim sind. Aus den drei ersten und der letzten der Gleichungen (196) entnehmen wir die Gleichungen
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(198)
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Wie in dem zuerst behandelten Falle schließen wir hieraus wiederum
, , ,
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und infolgedessen können wir die Gleichungen (198) in der Gestalt
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(199)
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schreiben, so daß
,
,
,
ganze, zu
prime Zahlen und
und
Einheiten in
bedeuten. Wegen (197) besteht ein Gleichungssystem wie (199) auch für
. Durch Elimination von
,
folgt daher für
sowie für
eine Gleichung von der Gestalt:
,
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(200)
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wo
und
Einheiten in
sind. Da
,
ganzen rationalen Zahlen nach
kongruent sind und, wie vorhin bewiesen,
ausfällt, so folgt in Anbetracht dieser Gleichung (200), daß auch
einer ganzen rationalen Zahl nach
kongruent sein muß, und daher ist nach Satz 156 (S. 287)
die
-te Potenz einer Einheit in
. Schreiben wir nun in der Gleichung (200)
an Stelle von
, so nimmt diese Gleichung die Gestalt von (195) an, nur daß der Exponent
jetzt um
kleiner geworden ist. Die wiederholte Anwendung des nämlichen Verfahrens auf die Gleichung (200) würde notwendig zu einer Gleichung von der Form (195) mit
und dadurch auf einen Widerspruch führen. Damit ist der Satz 168 vollständig bewiesen.