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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.36

Im Falle $l>3$ bilden wir die Zahlen

$\mu ={\frac {\alpha \lambda }{\alpha +\zeta ^{l-1}\beta }}$, $\varrho ={\frac {\beta \lambda }{\alpha +\zeta ^{l-1}\beta }}$;

dieselben lassen sich auch in der Gestalt von Brüchen schreiben, deren Zähler und Nenner zu ${\mathfrak {l}}$ prim sind. Aus den drei ersten und der letzten der Gleichungen (196) entnehmen wir die Gleichungen

$\left.{\begin{alignedat}{2}\mu &+\varrho &=&\lambda ^{l(m-1)+1}\left({\frac {\mathfrak {j}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\right)^{l},\\\mu &+\zeta \varrho &=&\lambda \left({\frac {{\mathfrak {j}}_{1}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\right)^{l},\\\mu &+\zeta ^{2}\varrho &=&\lambda \left({\frac {{\mathfrak {j}}_{2}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\right)^{l}.\end{alignedat}}\right\}$

(198)

Wie in dem zuerst behandelten Falle schließen wir hieraus wiederum

${\frac {\mathfrak {j}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\sim 1$, ${\frac {{\mathfrak {j}}_{1}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\sim 1$, ${\frac {{\mathfrak {j}}_{2}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\sim 1$,

und infolgedessen können wir die Gleichungen (198) in der Gestalt

$\left.{\begin{aligned}\mu &+\varrho &=&{\frac {\varepsilon ^{*}\lambda ^{l(m-1)+1}\gamma ^{*l}}{\nu }},\\\mu &+\zeta \varrho &=&{\frac {\lambda \alpha ^{*l}}{\nu }},\\\mu &+\zeta ^{2}\varrho &=&{\frac {\varepsilon \lambda \beta ^{*l}}{\nu }}\end{aligned}}\right\}$

(199)

schreiben, so daß $\nu$, $\alpha ^{*}$, $\beta ^{*}$, $\gamma ^{*}$ ganze, zu ${\mathfrak {l}}$ prime Zahlen und $\varepsilon$ und $\varepsilon ^{*}$ Einheiten in $k(\zeta )$ bedeuten. Wegen (197) besteht ein Gleichungssystem wie (199) auch für $l=3$. Durch Elimination von $\mu$, $\varrho$ folgt daher für $l=3$ sowie für $l>3$ eine Gleichung von der Gestalt:

$\alpha ^{*l}+\eta \beta ^{*l}=\eta ^{*}\lambda ^{l(m-1)}\gamma ^{*l}$,

(200)

wo $\eta$ und $\eta ^{*}\left(=-{\frac {(1-\zeta )}{(1-\zeta ^{2})}}\varepsilon {\text{ und }}={\frac {\zeta (1-\zeta )}{(1-\zeta ^{2})}}\varepsilon ^{*}\right)$ Einheiten in $k(\zeta )$ sind. Da $\alpha ^{*l}$, $\beta ^{*l}$ ganzen rationalen Zahlen nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ kongruent sind und, wie vorhin bewiesen, $m>1$ ausfällt, so folgt in Anbetracht dieser Gleichung (200), daß auch $\eta$ einer ganzen rationalen Zahl nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ kongruent sein muß, und daher ist nach Satz 156 (S. 287) $\eta$ die $l$-te Potenz einer Einheit in $k(\zeta )$. Schreiben wir nun in der Gleichung (200) $\beta ^{*}\eta ^{-{\frac {1}{l}}}$ an Stelle von $\beta ^{*}$, so nimmt diese Gleichung die Gestalt von (195) an, nur daß der Exponent $m$ jetzt um $1$ kleiner geworden ist. Die wiederholte Anwendung des nämlichen Verfahrens auf die Gleichung (200) würde notwendig zu einer Gleichung von der Form (195) mit $m=1$ und dadurch auf einen Widerspruch führen. Damit ist der Satz 168 vollständig bewiesen.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 353. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/370&oldid=- (Version vom 9.9.2019)