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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 4

wird ${\mathfrak {p}}$ zunächst im Verzweigungskörper die Potenz eines Primideals ${\mathfrak {p}}_{v}$, deren Exponent in $p^{f}-1$ aufgeht und folglich nicht durch $p$ teilbar ist. Die Spaltung von ${\mathfrak {p}}$ ist mit diesem zweiten Schritte notwendig dann und nur dann abgeschlossen, wenn $p$ im Grade der Trägheitsgruppe nicht aufgeht und mithin der Körper $K$ selbst der Verzweigungskörper ist. In den nun folgenden überstrichenen Verzweigungskörpern schreitet die Spaltung ohne Aussetzen fort, und zwar sind die bezüglichen Potenzexponenten Zahlen von der Gestalt $p^{\overline {e}}$, $p^{\overline {\overline {e}}}$, …, wo ${\overline {e}}$, ${\overline {\overline {e}}}$, … die Zahl $f$ nicht überschreiten. Der Tragheitskörper und der Verzweigungskörper sind durch zyklische Gleichungen, die überstrichenen Verzweigungskörper durch solche Abelsche Gleichungen bestimmt, deren Gruppen nur Substitutionen vom Primzahlgrade $p$ enthalten. Die Spaltung in gleiche Faktoren geschieht also stets mittels einer Kette Abelscher Gleichungen. Dieses Resultat drückt eine neue überraschende Eigenschaft des Zerlegungskörpers aus:

Der Zerlegungskörper bestimmt einen Rationalitätsbereich, in welchem die Zahlen des ursprünglichen Galoisschen Körpers $K$ lediglich durch Wurzelausdrücke darstellbar sind.

Der gefundene Satz rückt zugleich die Bedeutung der Theorie der durch Wurzelziehen lösbaren Gleichungen in grelles Licht, insofern derselbe zeigt, daß innerhalb der durch solche Gleichungen bestimmten Zahlkörper gerade die hauptsächlichsten Schwierigkeiten ihre Lösung finden, welche die Aufstellung der Primideale bietet.

Die Übersicht über die aufgezählten Resultate wird durch die folgende Tabelle erleichtert, in deren Zeilen der Reihe nach die Grade der Gruppen, die Grade der Körper, die Grade der den Körper bestimmenden Abelschen Gleichungen, dann die Primideale der Körper und ihre Zerlegung, bezüglich Spaltung sich angegeben finden. Der Körper $K$ ist dabei als ein dreimal überstrichener Verzweigungskörper angenommen.

$\varkappa _{s}$	$\varkappa _{t}$	$\varkappa _{v}$	$\varkappa _{\overline {v}}$	$\varkappa _{\overline {\overline {v}}}$	$K$
$r_{s}$	$r_{t}$	$r_{v}$	$r_{\overline {v}}$	$r_{\overline {\overline {v}}}$	$1$
$m_{s}={\frac {M}{r_{s}}}$	$m_{t}={\frac {M}{r_{t}}}$	$m_{v}={\frac {M}{r_{v}}}$	$m_{\overline {v}}={\frac {M}{r_{\overline {v}}}}$	$m_{\overline {\overline {v}}}={\frac {M}{r_{\overline {\overline {v}}}}}$	$M$
	$f={\frac {r_{s}}{r_{t}}}$	$h={\frac {r_{t}}{r_{v}}}$	$p^{\overline {e}}={\frac {r_{v}}{r_{\overline {v}}}}$	$p^{\overline {\overline {e}}}={\frac {r_{\overline {v}}}{r_{\overline {\overline {v}}}}}$	$p^{\overline {\overline {\overline {e}}}}=r_{\overline {\overline {v}}}$
$\underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } {}$ ${\begin{aligned}{\mathfrak {p}}&={\mathfrak {p}}_{v}^{h}\\&={\mathfrak {P}}^{r_{t}}\end{aligned}}$		${\begin{aligned}{\mathfrak {p}}_{v}&={\mathfrak {p}}_{\overline {v}}^{p^{\overline {e}}}\\&={\mathfrak {P}}^{r_{v}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}{\mathfrak {p}}_{\overline {v}}&={\mathfrak {p}}_{\overline {\overline {v}}}^{p^{\overline {\overline {e}}}}\\&={\mathfrak {P}}^{r_{\overline {v}}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}{\mathfrak {p}}_{\overline {\overline {v}}}&={\mathfrak {P}}^{p^{\overline {\overline {\overline {e}}}}}\\&={\mathfrak {P}}^{r_{\overline {\overline {v}}}}\end{aligned}}$	${\mathfrak {P}}$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 20. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/37&oldid=- (Version vom 31.7.2018)