würde
nach
folgen; wäre
nach
, so würde
nach
, d. h.
oder
nach
folgen; beides läuft unserer Annahme über die Zahlen
,
,
zuwider. Wäre
nach
, so würde
nach
, d. h.
oder
nach
folgen. Da aber
,
,
in der Gleichung (185) symmetrisch auftreten, so würde die gleiche Schlußweise auch zu der Kongruenz
nach
führen, und dann wäre
, d. h.
nach
, was wiederum unserer Annahme über
,
,
widerspricht. Jeder Faktor auf der linken Seite der Kongruenz (194) ist demnach durch
, aber nicht durch
teilbar, daher ist mit Rücksicht auf die Annahme
diese Kongruenz (194) unmöglich.
Wir nehmen nunmehr zweitens an, es sei in der Gleichung (185) eine der drei Zahlen
,
,
, etwa
, durch
teilbar, und zwar gehe in
genau die
-te Potenz von
auf. Wird dann
durch
ersetzt, so daß
eine zu
prime ganze Zahl in
bedeutet, so ist die aus (185) entstehende Gleichung von der Gestalt
;
|
(195)
|
hierin ist
. Es soll jetzt gezeigt werden, daß überhaupt eine Gleichung von dieser Gestalt (195) nicht möglich ist, wenn in derselben
,
,
zu
prime ganze Zahlen und
irgendeine Einheit des Kreiskörpers
sein sollen. Zu dem Zwecke nehmen wir wiederum die Zahlen
,
semiprimär an und bedenken dann zunächst, daß
,
ganzen rationalen Zahlen nach
kongruent werden und daher wegen (195) auch
einer ganzen rationalen Zahl nach
kongruent sein muß; infolgedessen ist notwendig
. Ferner erkennen wir durch eine ähnliche Überlegung wie in dem vorher behandelten Falle und in Berücksichtigung des Umstandes, daß
semiprimär ist, die Gültigkeit der folgenden Gleichungen:
.
|
(196)
|
wo
,
, …,
,
zu
prime Ideale in
sind. Ist insbesondere
, so fällt die Klassenanzahl
des Körpers
gleich
aus, und es ist daher jedes Ideal in
ein Hauptideal. Setzen wir in diesem Falle
, wo
eine ganze Zahl in
bedeute, und dann
, ,
|
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so gehen die Gleichungen (196) über in
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(197)
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