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Gleichung (185) genügenden Zahlen semiprimär sind. Wir bringen nun die Gleichung (185) in die Gestalt

(186)

Würden hier zwei der Faktoren linker Hand, z. B. und ‚ einen Faktor gemein haben, so müßte dieser auch in und in aufgehen, und da eine Einheit ist und nicht in aufgeht, so müßte dieser gemeinsame Faktor notwendig ein gemeinsamer Faktor der Zahlen und sein. Da jeder Primfaktor, der nur in einem der Faktoren linker Hand von (186) aufgeht, wegen eben dieser Gleichung offenbar zu einem durch teilbaren Exponenten darin vorkommen muß, so folgt, daß die Faktoren der linken Seite von (186) die folgende Zerlegung gestatten:

darin bedeutet den größten gemeinsamen Idealteiler der Zahlen und sind gewisse Ideale in . Da insbesondere zu prim ist, so können wir eine -te Einheitswurzel bestimmen derart, daß semiprimär wird; wir setzen

Es ergibt sich dann

(187)

d. h. es ist

und ferner wird

(188)

Bedeutet die Anzahl der Idealklassen in , so ist andererseits

und da zu prim ist, so folgt hieraus weiter

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 350. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/367&oldid=- (Version vom 31.7.2018)