ins Auge. Wir setzen
und
. Kommt das Primideal
des Körpers
in
zu einer Potenz erhoben vor, deren Exponent
nicht durch
teilbar ist, und geht außerdem
in der Relativdiskriminante des Körpers
nicht auf, so haben wir auf Grund der Angaben am Schlusse von § 133 auf S. 274
,
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und mit Rücksicht auf die hieraus zu entnehmende Gleichung
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ist
nach Satz 149 (S. 254) in
als Produkt von
Primfaktoren darstellbar. Bedeutet
einen derselben, so haben wir
.
Es sei ferner
ein von
verschiedenes Primideal des Kreiskörpers
, und es komme
in
zu einer Potenz erhoben vor, deren Exponent
nicht durch
teilbar ist; dagegen sei der Exponent
, zu dem
in
aufgeht, durch
teilbar: dann ist nach der Definition des Symbols
,
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und hieraus folgt wegen der Voraussetzung des Satzes 167
; nach Satz 149 (S. 254) ist also
in
als Produkt von
Primidealen darstellbar. Ist
eines dieser
Primideale, so wird
.
Endlich sind die in der Relativdiskriminante von
aufgehenden Primideale des Körpers
stets
-te Potenzen von Primidealen in
und daher ebenfalls Relativnormen von Idealen in
. Aus allen diesen Umständen zusammengenommen folgt, daß
die Relativnorm eines Ideals
in
sein muß, d. h. es ist
.
Wegen der Voraussetzung des Satzes 167 gehört ferner
dem Hauptgeschlecht in
an, und wir können daher nach Satz 166 (S. 332)
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setzen, in solcher Weise, daß
ein Ideal in
und
ein Ideal in
bedeutet. Ist
die Anzahl der Idealklassen in
, so haben wir
, und folglich muß
eine ganze oder gebrochene Zahl des Körpers
sein; die Relativnorm dieser Zahl
ist offenbar
, wo
eine Einheit in
bedeutet. Aus der letzten Gleichung folgt nach Satz 151 (S. 272), daß für jedes beliebige Primideal
in
notwendig
und daher auch
sein muß. Es ist nun im ersten Teile des gegenwärtigen Beweises gezeigt worden, daß unter diesen Umständen
stets gleich der Relativnorm einer Zahl in
sein muß, wir setzen
, wo
eine Zahl in