darstellen läßt, wobei
,
, …,
ganze rationale Exponenten sind und
eine geeignete Einheit in
bedeutet. Setzen wir nun allgemein
, ,
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so liefern die
Gleichungen
, , …,
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(160)
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für die Exponenten
die
linearen Kongruenzen
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(161)
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Wegen (140) (S. 307) haben wir
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;
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und daher sind die
linearen Kongruenzen (161) voneinander unabhängig; es folgt somit, daß alle diejenigen Einheiten
, welche den Bedingungen (160) genügen, eine Einheitenschar vom Grade
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bilden.
Wir haben nun zu Beginn dieses Beweises festgestellt, daß der Grad
der Schar aller derjenigen Einheiten in
, welche Relativnormen von Einheiten oder gebrochenen Zahlen in
sind, den gleichen Wert besitzt. Da ferner jede Einheit in
, welche die Relativnorm einer Einheit oder einer gebrochenen Zahl im Kummerschen Körper
ist, offenbar Normenrest von
nach
sein und daher nach Satz 151 (S. 272) notwendig auch den Gleichungen (160) genügen muß, so gehört jede Einheit der zu Anfang behandelten Schar auch der zweiten Einheitenschar an; weil beide Einheitenscharen gleiche Grade haben, sind sie miteinander identisch. Die vorgelegte Einheit
genügt nun nach Voraussetzung den Bedingungen (160) und gehört also der zweiten Einheitenschar an; nach dem eben Bewiesenen ist mithin
auch in der zuerst behandelten Einheitenschar enthalten, d. h. es ist
gleich der Relativnorm einer Einheit oder einer gebrochenen Zahl in
.
Es sei jetzt
eine beliebige ganze Zahl in
, welche die Voraussetzung des Satzes 167 erfüllt; wir fassen die in
aufgehenden Primideale des Körpers