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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.34

darstellen läßt, wobei $x_{1}$, $x_{2}$, …, $x_{\frac {l-1}{2}}$ ganze rationale Exponenten sind und $\varepsilon$ eine geeignete Einheit in $k(\zeta )$ bedeutet. Setzen wir nun allgemein

$\left\{{\frac {\varepsilon _{u},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-v+1}}}\right\}=\zeta ^{e_{uv}}$, $\left(u=1,2,\ldots ,{\frac {l-1}{2}};v=1,2,\ldots ,r^{*}\right)$,

so liefern die $r^{*}$ Gleichungen

$\left\{{\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-1}}}\right\}=1$, …, $\left\{{\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-r^{*}+1}}}\right\}=1$

(160)

für die Exponenten $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{\frac {l-1}{2}}$ die $r^{*}$ linearen Kongruenzen

$\left.{\begin{matrix}e_{11}x_{1}&+&e_{21}x_{2}&+&\cdots &+&e_{{\frac {l-1}{2}},1}x_{\frac {l-1}{2}}&\equiv &0,\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&\vdots &\vdots \\e_{1r^{*}}x_{1}&+&e_{2r^{*}}x_{2}&+&\cdots &+&e_{{\frac {l-1}{2}},r^{*}}x_{\frac {l-1}{2}}&\equiv &0,\end{matrix}}\right\}(l).$

(161)

Wegen (140) (S. 307) haben wir

$\left.{\begin{matrix}e_{11}\equiv 1,&e_{21}\equiv 0,&e_{31}\equiv 0,&\ldots ,&e_{r^{*}1}\equiv 0,\\&e_{22}\equiv 1,&e_{32}\equiv 0,&\ldots ,&e_{r^{*}2}\equiv 0,\\&&e_{33}\equiv 1,&\ldots ,&e_{r^{*}3}\equiv 0,\\&&&&\;\vdots \\&&&&e_{r^{*}r^{*}}\equiv 1,\end{matrix}}\right\}$

$(l)$;

und daher sind die $r^{*}$ linearen Kongruenzen (161) voneinander unabhängig; es folgt somit, daß alle diejenigen Einheiten $\xi$, welche den Bedingungen (160) genügen, eine Einheitenschar vom Grade

${\frac {l-1}{2}}-r^{*}={\frac {l-1}{2}}-t+r$

bilden.

Wir haben nun zu Beginn dieses Beweises festgestellt, daß der Grad $n$ der Schar aller derjenigen Einheiten in $k(\zeta )$, welche Relativnormen von Einheiten oder gebrochenen Zahlen in $K$ sind, den gleichen Wert besitzt. Da ferner jede Einheit in $k(\zeta )$, welche die Relativnorm einer Einheit oder einer gebrochenen Zahl im Kummerschen Körper $K$ ist, offenbar Normenrest von $K$ nach ${\mathfrak {l}}$ sein und daher nach Satz 151 (S. 272) notwendig auch den Gleichungen (160) genügen muß, so gehört jede Einheit der zu Anfang behandelten Schar auch der zweiten Einheitenschar an; weil beide Einheitenscharen gleiche Grade haben, sind sie miteinander identisch. Die vorgelegte Einheit $\nu$ genügt nun nach Voraussetzung den Bedingungen (160) und gehört also der zweiten Einheitenschar an; nach dem eben Bewiesenen ist mithin $\nu$ auch in der zuerst behandelten Einheitenschar enthalten, d. h. es ist $\nu$ gleich der Relativnorm einer Einheit oder einer gebrochenen Zahl in $K$.

Es sei jetzt $\nu$ eine beliebige ganze Zahl in $K$, welche die Voraussetzung des Satzes 167 erfüllt; wir fassen die in $\nu$ aufgehenden Primideale des Körpers

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 333. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/350&oldid=- (Version vom 9.9.2019)