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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.34

Satz 166. Jeder Komplex des Hauptgeschlechtes in einem regulären Kummerschen Körper $K$ ist die $(1-S)$-te symbolische Potenz eines Komplexes in $K$, d. h. jede Klasse des Hauptgeschlechtes in einem regulären Kummerschen Körper $K$ ist gleich dem Produkt aus der $(1-S)$-ten symbolischen Potenz einer Klasse und aus einer solchen Klasse, welche Ideale des Kreiskörpers $k(\zeta )$ enthält.

Beweis. In dem Beweise (S. 312) zu Hilfssatz 34 ist die Gleichung $af'=gf$ abgeleitet; hierbei bedeutet $a$ die Anzahl der ambigen Komplexe, $f'$ die Anzahl derjenigen Komplexe, welche gleich $(1-S)$-ten symbolischen Potenzen vpn Komplexen sind, ferner bedeutet $g$ die Anzahl der Geschlechter und $f$ die Anzahl der Komplexe des Hauptgeschlechtes. Da nach Satz 165 $a=g$ ist, so folgt $f'=f$, und damit ist bewiesen, daß jeder Komplex des Hauptgeschlechtes die $(1-S)$-te symbolische Potenz eines Komplexes ist.

§ 165. Der Satz von den Relativnormen der Zahlen eines regulären Kummerschen Körpers.

Satz 167. Wenn $\nu$, $\mu$, zwei ganze Zahlen des regulären Kreiskörpers $k(\zeta )$ bedeuten, von denen $\mu$ nicht die $l$-te Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ ist, und welche für jedes Primideal ${\mathfrak {w}}$ in $k(\zeta )$ die Bedingung

$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$,

erfüllen, so ist die Zahl $\nu$ stets gleich der Relativnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl ${\mathsf {A}}$ des Kummerschen Körpers $K=k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$.

Beweis. Wir beweisen diesen Satz zunächst für den Fall, daß $\nu$ eine Einheit in $k(\zeta )$ ist. Es mögen wiederum $t$ und $n$ für den Kummerschen Körper $K=k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ die Bedeutung wie in Satz 159 (S. 302) haben; im Beweise zu Satz 165 ist gezeigt worden, daß $r-1=t+n-{\frac {l+1}{2}}$ sein muß, d. h. es ist $n={\frac {l-1}{2}}-t+r$. Andererseits betrachten wir die $r^{*}=t-r$ Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r^{*}}$, die in § 149 (S. 307) bestimmt worden sind. Wegen der Gleichungen (140) (S. 307) kann ein Produkt aus Potenzen dieser $r^{*}$ Einheiten nur dann die $l$-te Potenz einer Einheit in $k(\zeta )$ sein, wenn die Potenzexponenten sämtlich durch $l$ teilbar sind. Es müssen sich daher, da die Gesamtheit aller Einheiten in $k(\zeta )$ eine Schar vom Grade ${\frac {l-1}{2}}$ bildet, weiter ${\frac {l-1}{2}}-r^{*}$ Einheiten $\varepsilon _{r^{*}+1}$, $\varepsilon _{r^{*}+2}$, …, $\varepsilon _{\frac {l-1}{2}}$ bestimmen lassen, so daß überhaupt jede Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$ sich in der Gestalt

$\xi =\varepsilon _{1}^{x_{1}}\varepsilon _{2}^{x_{2}}\cdots \varepsilon _{\frac {l-1}{2}}^{x_{\frac {l-1}{2}}}\varepsilon ^{l}$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 332. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/349&oldid=- (Version vom 11.7.2022)