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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.34

Satz 151 (S. 272) die Gleichung $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$. Mit Rücksicht hierauf gilt wegen (152) der Satz für den Fall, daß eine jede der Zahlen $\nu$, $\mu$ sei es eine Einheit, sei es eine beliebige Potenz von $\lambda$, sei es eine Primärzahl eines von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenen Primideals vorstellt; wegen (150) und (151) und auf Grund der Regeln (80) (S. 265) und (83) (S. 266) gilt sodann der Satz 163 allgemein.

§ 163. Der Fundamentalsatz über die Geschlechter eines regulären Kummerschen Körpers.

Wir sind jetzt imstande, für den regulären Kummerschen Körper denjenigen Satz aufzustellen und zu beweisen, welcher dem fundamentalen Satz 100 (S. 168) in der Theorie des quadratischen Körpers entspricht. Dieser Satz lautet:

Satz 164. Es sei $r$ die Anzahl der Charaktere, welche ein Geschlecht im regulären Kummerschen Körper $K=k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ bestimmen; ist dann ein System von $r$ beliebigen $l$-ten Einheitswurzeln vorgelegt, so ist dieses System dann und nur dann das Charakterensystem eines Geschlechtes in $K$, wenn das Produkt der sämtlichen $r$ Einheitswurzeln gleich $1$ ist. Die Anzahl der in $K$ vorhandenen Geschlechter ist daher gleich $l^{r-1}$.

Beweis. Es sei $h$ die Klassenanzahl des regulären Kreiskörpers $k(\zeta )$ und $h^{*}$ eine ganze rationale positive Zahl mit der Kongruenzeigenschaft $hh^{*}\equiv 1$ nach $l$; ferner seien ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{r}$ die $r$ gemäß § 149 ausgewählten Primfaktoren der Relativdiskriminante von $K$. Es bedeute nun $A$ irgendeine Idealklasse in $K$, ${\mathfrak {J}}$ ein zu ${\mathfrak {l}}=(1-\zeta )$ und zur Relativdiskriminante von $K$ primes Ideal der Klasse $A$ und ${\bar {\nu }}=(N_{k}({\mathfrak {J}}))^{hh^{*}}$ die nach der Vorschrift in § 149 (S. 306) aus ${\mathfrak {J}}$ gebildete und mit einem gewissen Einheitsfaktor versehene ganze Zahl in $k(\zeta )$, so daß

$\chi _{1}({\mathfrak {J}})=\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right\},\ldots ,\chi _{r}({\mathfrak {J}})=\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {l}}_{r}}}\right\}$

die $r$ Einzelcharaktere sind, welche das Geschlecht von ${\mathfrak {J}}$ bestimmen. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Ideal des Kreiskörpers $k(\zeta )$, wofern es ein solches gibt, welches in ${\bar {\nu }}$ zu einem nicht durch $l$ teilbaren Exponenten vorkommt; dabei ist ${\mathfrak {p}}$ sicher von ${\mathfrak {l}}$ verschieden und prim zur Relativdiskriminante von $K$. Da $N_{k}({\mathfrak {J}})$ die Relativnorm eines Ideals ist, so muß ${\mathfrak {p}}$ im Körper $K$ zerlegbar sein. Es gilt mithin nach Satz 149 (S. 254) für jedes solche Primideal ${\mathfrak {p}}$ die Gleichung $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$, und daher ist auch stets $\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$. Mit Rücksicht auf Satz 163 (S. 328) folgt daher

$\prod _{({\mathfrak {w}})}\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$,

(153)

wenn ${\mathfrak {w}}$ alle in der Relativdiskriminante von $K$ enthaltenen, von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenen

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 329. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/346&oldid=- (Version vom 9.9.2019)