34. Die Anzahl der vorhandenen Geschlechter im regulären Kummerschen Körper.
§ 162.
Ein Satz über das Symbol ![{\displaystyle \left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {w}}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f5ceba0c4242a1b0f8772b15ac0763a838022cc)
Die wichtigste Aufgabe in der Theorie der Geschlechter eines Kummerschen Körpers betrifft die Ermittlung der Anzahl der wirklich vorhandenen Geschlechter. Wir beweisen hier zunächst einen Satz, welcher dem Hilfssatz 14 (S. 171) aus der Theorie des quadratischen Körpers entspricht.
Satz 163. Wenn
und
zwei beliebige ganze Zahlen
eines regulären Kreiskörpers
bedeuten, so ist stets
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wenn das Produkt linker Hand über sämtliche Primideale
in
erstreckt wird.
Beweis. Es sei
die Anzahl der Idealklassen in
und
eine ganze rationale positive Zahl mit der Kongruenzeigenschaft
nach
Wir setzen
und
so daß
und
ganze rationale Exponenten und
gewisse von
verschiedene Primideale in
sind. Bedeuten ferner
Primärzahlen der Prim-Ideale bez.
und zwar derart, daß
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gilt, und wird noch
gesetzt, so bestehen zwei Gleichungen von der
Gestalt:
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(150)
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worin
und
Einheiten in
sind. Wenn
ein beliebiges Primideal bedeutet, so ist allgemein
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(151)
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Es seien nun
zwei voneinander und von
verschiedene Primideale in
und
bez. Primärzahlen von
ferner seien
beliebige Einheiten in
Aus Hilfssatz 36 (S. 313) und aus Satz 161 (S. 312) folgen dann leicht die Formeln
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(152)
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Ist
ein von
verschiedenes Primideal, welches nicht in
aufgeht, so ist nach Satz 148 (S. 251) die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers
zu
prim; fällt dann
auch zu
prim aus, so ist nach Satz 150 (S. 257) die Zahl
Normenrest des Kummerschen Körpers
und daher gilt nach