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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.33

Dann besteht das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {R}}$ in $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varkappa ^{*}}},\zeta )$ aus den beiden Charakteren

$\left.{\begin{aligned}\left\{{\frac {\varrho ,\varkappa \varkappa ^{*}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\varrho }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\},\\\left\{{\frac {\varrho ,\varkappa \varkappa ^{*}}{{\mathfrak {q}}^{*}}}\right\}=\left\{{\frac {\varrho }{{\mathfrak {q}}^{*}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{{\mathfrak {q}}^{*}}}\right\}.\\\end{aligned}}\right\}$

(148)

Da der erste Charakter wegen $\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}\neq 1$ dem Satze 162 (S.319) gemäß notwendig ebenfalls verschieden von $1$ ist, so bestimmen die Ideale ${\mathfrak {R}}$, ${\mathfrak {R}}^{2}$, ⋯, ${\mathfrak {R}}^{l}$ lauter voneinander verschiedene Geschlechter, und es gibt, wie bereits gezeigt worden ist, auch hier nicht mehr als $l$ Geschlechter. Wegen $\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {r}}}\right\}\neq 1$ ist ${\mathfrak {r}}$ ein Primideal erster Art; es gilt daher nach dem vorigen einerseits für die Primideale ${\mathfrak {r}}$, ${\mathfrak {q}}$, andererseits für die Primideale ${\mathfrak {r}}$, ${\mathfrak {q}}^{*}$ das Reziprozitätsgesetz, und das Produkt der beiden Charaktere (148) wird folglich

$\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{{\mathfrak {q}}^{*}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {r}}}\right\}\left\{{\frac {{\mathfrak {q}}^{*}}{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\varkappa \varkappa ^{*}}{\mathfrak {r}}}\right\}=1$.

(149)

Da jedes beliebige Ideal in $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varkappa ^{*}}},\zeta )$ einem jener $l$ Geschlechter angehören muß, so folgt aus (149), daß für jedes Ideal das Produkt seiner beiden Charaktere gleich $1$ sein muß. Nun ist das Ideal ${\mathfrak {q}}$ gleich der $l$-ten Potenz eines Primideals ${\mathfrak {Q}}$ in $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varkappa ^{*}}},\zeta )$. Die beiden Charaktere von ${\mathfrak {Q}}$ in diesem Körper sind alsdann

${\begin{aligned}\left\{{\frac {\varkappa ,\varkappa \varkappa ^{*}}{\mathfrak {q}}}\right\}&=\left\{{\frac {\varkappa ^{*},\varkappa \varkappa ^{*}}{\mathfrak {q}}}\right\}^{-1}=\left\{{\frac {\varkappa ^{*}}{\mathfrak {q}}}\right\}^{-1}=\left\{{\frac {{\mathfrak {q}}^{*}}{\mathfrak {q}}}\right\}^{-1},\\\left\{{\frac {\varkappa ,\varkappa \varkappa ^{*}}{{\mathfrak {q}}^{*}}}\right\}&=\left\{{\frac {\varkappa }{{\mathfrak {q}}^{*}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{{\mathfrak {q}}^{*}}}\right\},\end{aligned}}$

und da ihr Produkt gleich $1$ sein soll, so erhalten wir

$\left\{{\frac {{\mathfrak {q}}^{*}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{{\mathfrak {q}}^{*}}}\right\}$.

Hiermit ist das Reziprozitätsgesetz für zwei Primideale der zweiten Art bewiesen, und nunmehr ist der Beweis des Reziprozitätsgesetzes für zwei beliebige Primideale vollständig erbracht.

§ 161. Beweis des zweiten Ergänzungssatzes zum Reziprozitätsgesetz.

Es sei zunächst ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal erster Art und $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$. Wir bestimmen eine Einheit $\varepsilon$ in $k(\zeta )$ derart, daß $\left\{{\frac {\varepsilon \lambda }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ wird, und betrachten dann den durch ${\sqrt[{l}]{\varepsilon \lambda }}$ und $\zeta$ bestimmten Kummerschen Körper. Wegen $\left\{{\frac {\varepsilon \lambda }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ ist ${\mathfrak {p}}$ in diesem Körper weiter zerlegbar; es sei ${\mathfrak {P}}$ ein Primfaktor von ${\mathfrak {p}}$ in diesem Körper. Wir erkennen, daß das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {P}}$ aus dem

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 326. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/343&oldid=- (Version vom 9.9.2019)