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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.33

Ergänzungssatzes ergibt sich

$\left\{{\frac {\rho ,\varepsilon \varkappa }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\varrho ,\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\varepsilon }{\mathfrak {r}}}\right\}\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\varepsilon }{\mathfrak {r}}}\right\}\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\varepsilon \varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}=1$,

d. h. das Produkt der beiden Charaktere (147) ist gleich $1$. Da jedes beliebige Ideal in $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon \varkappa }},\zeta )$ notwendig einem jener $l$ Geschlechter angehören muß, so folgt hieraus, daß für jedes Ideal in $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon \varkappa }},\zeta )$ das Produkt seiner beiden Charaktere stets gleich $1$ ist. Wegen $\left\{{\frac {\varepsilon \varkappa }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ ist ${\mathfrak {p}}$ in $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon \varkappa }},\zeta )$ weiter zerlegbar; bezeichnet ${\mathfrak {P}}$ einen Primfaktor von ${\mathfrak {p}}$ in diesem Körper, so sind die beiden Charaktere für ${\mathfrak {P}}$ durch die Symbole

$\left\{{\frac {\pi ,\varepsilon \varkappa }{\mathfrak {l}}}\right\},$ $\left\{{\frac {\pi ,\varepsilon \varkappa }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}$

gegeben, und es folgt somit unter Benutzung des in § 159 bewiesenen Ergänzungssatzes notwendig

$\left\{{\frac {\pi ,\varepsilon \varkappa }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\varepsilon }{\mathfrak {p}}}\right\}\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$

oder

$\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\varepsilon }{\mathfrak {p}}}\right\}^{-1}=\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\}$,

d. h. es gilt das Reziprozitätsgesetz für die beiden Primideale ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {q}}$.

Es seien drittens zwei Primideale ${\mathfrak {q}}$ und ${\mathfrak {q}}^{*}$ der zweiten Art vorgelegt; $\varkappa$, $\varkappa ^{*}$ seien Primärzahlen von ${\mathfrak {q}}$ bez. ${\mathfrak {q}}^{*}$. Wir betrachten den Kummerschen Körper $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varkappa ^{*}}},\zeta )$. Die Zahlen $\varkappa$ und $\varkappa ^{*}$ sind, wie sich im Beweise des Hilfssatzes 37 herausgestellt hat, $l$-ten Potenzen von gewissen ganzen Zahlen in $k(\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ kongruent; das gleiche gilt daher von $\varkappa \varkappa ^{*}$, und folglich ist nach Satz 148 (S. 251) die Relativdiskriminante des Körpers $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varkappa ^{*}}},\zeta )$ nicht durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar. Diese Relativdiskriminante enthält somit nur die beiden Primfaktoren ${\mathfrak {q}}$ und ${\mathfrak {q}}^{*}$. Nun ist für jede Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$

$\left\{{\frac {\xi ,\varkappa \varkappa ^{*}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {q}}}\right\}=1,$ $\left\{{\frac {\xi ,\varkappa \varkappa ^{*}}{{\mathfrak {q}}^{*}}}\right\}=\left\{{\frac {\xi }{{\mathfrak {q}}^{*}}}\right\}=1$,

und dementsprechend ist die Anzahl $r$ der Charaktere, welche das Geschlecht eines Ideals in $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varkappa ^{*}}},\zeta )$ bestimmen, $=2$. Nach Hilfssatz 35 (S. 312) ist dann in $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varkappa ^{*}}},\zeta )$ die Anzahl der Geschlechter $g\leqq l$. Ferner läßt sich nach Satz 152 (S. 276) jedenfalls ein Primideal ${\mathfrak {r}}$ in $k(\zeta )$ bestimmen derart, daß

$\left\{{\frac {\varkappa \varkappa ^{*}}{\mathfrak {r}}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {r}}}\right\}\neq 1$, $\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}\neq 1$

ausfällt. Wegen der ersten Gleichung ist ${\mathfrak {r}}$ in $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varkappa ^{*}}},\zeta )$ weiter zerlegbar; es sei ${\mathfrak {R}}$ ein Primfaktor von ${\mathfrak {r}}$ in diesem Körper und $\varrho$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {r}}$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 325. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/342&oldid=- (Version vom 9.9.2019)