Ergänzungssatzes ergibt sich
,
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d. h. das Produkt der beiden Charaktere (147) ist gleich
. Da jedes beliebige Ideal in
notwendig einem jener
Geschlechter angehören muß, so folgt hieraus, daß für jedes Ideal in
das Produkt seiner beiden Charaktere stets gleich
ist. Wegen
ist
in
weiter zerlegbar; bezeichnet
einen Primfaktor von
in diesem Körper, so sind die beiden Charaktere für
durch die Symbole
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gegeben, und es folgt somit unter Benutzung des in § 159 bewiesenen Ergänzungssatzes notwendig
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oder
,
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d. h. es gilt das Reziprozitätsgesetz für die beiden Primideale
und
.
Es seien drittens zwei Primideale
und
der zweiten Art vorgelegt;
,
seien Primärzahlen von
bez.
. Wir betrachten den Kummerschen Körper
. Die Zahlen
und
sind, wie sich im Beweise des Hilfssatzes 37 herausgestellt hat,
-ten Potenzen von gewissen ganzen Zahlen in
nach
kongruent; das gleiche gilt daher von
, und folglich ist nach Satz 148 (S. 251) die Relativdiskriminante des Körpers
nicht durch
teilbar. Diese Relativdiskriminante enthält somit nur die beiden Primfaktoren
und
. Nun ist für jede Einheit
in
,
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und dementsprechend ist die Anzahl
der Charaktere, welche das Geschlecht eines Ideals in
bestimmen,
. Nach Hilfssatz 35 (S. 312) ist dann in
die Anzahl der Geschlechter
. Ferner läßt sich nach Satz 152 (S. 276) jedenfalls ein Primideal
in
bestimmen derart, daß
, ,
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ausfällt. Wegen der ersten Gleichung ist
in
weiter zerlegbar; es sei
ein Primfaktor von
in diesem Körper und
eine Primärzahl von
.