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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.33

§ 160. Beweis des Reziprozitätsgesetzes zwischen zwei beliebigen Primidealen.

Nachdem der erste Ergänzungssatz in § 159 bewiesen worden ist, folgt aus Hilfssatz 39 (S. 317) sofort die Richtigkeit des Reziprozitätsgesetzes für zwei beliebige Primideale erster Art.

Es sei zweitens ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ erster Art und ein Primideal ${\mathfrak {q}}$ zweiter Art vorgelegt; $\pi$ und $\varkappa$ seien Primärzahlen von ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {q}}$. Im Falle, daß $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ ausfällt, folgt aus Satz 162 (S. 319) $\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$ und mithin die Richtigkeit des Reziprozitätsgesetzes für ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {q}}$. Wir nehmen jetzt an, es sei $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right\}\neq 1$. Da ${\mathfrak {p}}$ von der ersten Art ist, so gibt es eine Einheit $\varepsilon$, so daß $\left\{{\frac {\varepsilon \varkappa }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ ausfällt, und es kann hierbei stets, wie aus einer Betrachtung am Schlusse des Beweises von Hilfssatz 39 (S. 317) hervorgeht, die Einheit $\varepsilon$ zugleich so bestimmt werden, daß eine gewisse Potenz von $\varepsilon \varkappa$ mit einem zu $l$ primen Exponenten $\equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ wird. Wir betrachten den Kummerschen Körper $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon \varkappa }},\zeta )$. Nach Satz 148 (S. 251) enthält die Relativdiskriminante dieses Körpers in bezug auf $k(\zeta )$ die zwei Primfaktoren ${\mathfrak {l}}$ und ${\mathfrak {q}}$. Da ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal zweiter Art ist, so gelten wegen der Hilfssätze 36 und 37 für jede Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$ die Gleichungen

$\left\{{\frac {\xi ,\varepsilon \varkappa }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\xi ,\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\xi ,\varkappa }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {q}}}\right\}=1$,

und demgemäß ist die Anzahl $r$ der Charaktere, welche das Geschlecht eines Ideals in $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon \varkappa }},\zeta )$ bestimmen, gleich $2$. Nach Hilfssatz 35 (S. 312) ist dann in $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon \varkappa }},\zeta )$ die Anzahl der Geschlechter $g\leqq l$. Wir bestimmen nun nach Hilfssatz 42 (S. 322) ein Primideal ${\mathfrak {r}}$ in $k(\zeta )$ von der Beschaffenheit, daß

$\left\{{\frac {\varepsilon \varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {r}}}\right\}\neq 1$

wird. Wegen der ersteren Gleichung ist ${\mathfrak {r}}$ in $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon \varkappa }},\zeta )$ weiter zerlegbar. Es sei ${\mathfrak {R}}$ ein Primfaktor von ${\mathfrak {r}}$ in diesem Körper und $\varrho$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {r}}$. Dann besteht das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {R}}$ in $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon \varkappa }},\zeta )$ aus den beiden Charakteren

$\left\{{\frac {\varrho ,\varepsilon \varkappa }{\mathfrak {l}}}\right\}$, $\left\{{\frac {\varrho ,\varepsilon \varkappa }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}$.

(147)

Da der zweite Charakter $\neq 1$ ist, so bestimmen die Ideale ${\mathfrak {R}}$, ${\mathfrak {R}}^{2}$, …, ${\mathfrak {R}}^{l}$ lauter voneinander verschiedene Geschlechter, und es gibt, wie die oben gefundene obere Grenze für die Anzahl der Geschlechter zeigt, außer diesen keine weiteren Geschlechter. Mit Benutzung des in § 159 bewiesenen ersten

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 324. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/341&oldid=- (Version vom 12.9.2023)