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§ 160. Beweis des Reziprozitätsgesetzes zwischen zwei beliebigen Primidealen.

Nachdem der erste Ergänzungssatz in § 159 bewiesen worden ist, folgt aus Hilfssatz 39 (S. 317) sofort die Richtigkeit des Reziprozitätsgesetzes für zwei beliebige Primideale erster Art.

Es sei zweitens ein Primideal erster Art und ein Primideal zweiter Art vorgelegt; und seien Primärzahlen von und . Im Falle, daß ausfällt, folgt aus Satz 162 (S. 319) und mithin die Richtigkeit des Reziprozitätsgesetzes für und . Wir nehmen jetzt an, es sei . Da von der ersten Art ist, so gibt es eine Einheit , so daß ausfällt, und es kann hierbei stets, wie aus einer Betrachtung am Schlusse des Beweises von Hilfssatz 39 (S. 317) hervorgeht, die Einheit zugleich so bestimmt werden, daß eine gewisse Potenz von mit einem zu primen Exponenten nach wird. Wir betrachten den Kummerschen Körper . Nach Satz 148 (S. 251) enthält die Relativdiskriminante dieses Körpers in bezug auf die zwei Primfaktoren und . Da ein Primideal zweiter Art ist, so gelten wegen der Hilfssätze 36 und 37 für jede Einheit in die Gleichungen

, ,

und demgemäß ist die Anzahl der Charaktere, welche das Geschlecht eines Ideals in bestimmen, gleich . Nach Hilfssatz 35 (S. 312) ist dann in die Anzahl der Geschlechter . Wir bestimmen nun nach Hilfssatz 42 (S. 322) ein Primideal in von der Beschaffenheit, daß

, 

wird. Wegen der ersteren Gleichung ist in weiter zerlegbar. Es sei ein Primfaktor von in diesem Körper und eine Primärzahl von . Dann besteht das Charakterensystem des Ideals in aus den beiden Charakteren

, . (147)

Da der zweite Charakter ist, so bestimmen die Ideale , , …, lauter voneinander verschiedene Geschlechter, und es gibt, wie die oben gefundene obere Grenze für die Anzahl der Geschlechter zeigt, außer diesen keine weiteren Geschlechter. Mit Benutzung des in § 159 bewiesenen ersten

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 324. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/341&oldid=- (Version vom 12.9.2023)