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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.33

Beweis. Es sei $h$ die Klassenanzahl von $k(\zeta )$ und, wie in § 149 und § 154, $h^{*}$ eine positive ganze rationale Zahl, so daß $hh^{*}\equiv 1$ nach $l$ wird. Es sei $p$ die rationale, durch ${\mathfrak {p}}$ teilbare Primzahl und $\pi ={\mathfrak {p}}^{hh^{*}}$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$; ferner seien ${\mathfrak {p}}'$, ${\mathfrak {p}}''$, … die untereinander und von ${\mathfrak {p}}$ verschiedenen, zu ${\mathfrak {p}}$ konjugierten Primideale in $k(\zeta )$ und $\pi '={\mathfrak {p}}'^{hh^{*}}$, $\pi ''={\mathfrak {p}}''^{hh^{*}}$ die betreffenden zu $\pi$ konjugierten Zahlen in $k(\zeta )$; sie sind Primärzahlen bez. von ${\mathfrak {p}}'$, ${\mathfrak {p}}''$, …. Wir haben dann $p={\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}'{\mathfrak {p}}''\ldots$; da ferner ${\frac {p^{hh^{*}}}{\pi \pi '\pi ''\ldots }}$ eine Einheit in $k(\zeta )$ sein muß und überdies primär ausfällt, so stellt nach Satz 156 (s. auch S. 287) dieser Quotient die $l$-te Potenz einer Einheit $\varepsilon$ in $k(\zeta )$ dar, es ist also

$p^{hh^{*}}=\varepsilon ^{l}\pi \pi '\pi ''\ldots$.

Nunmehr wenden wir den Satz 152 (S. 276) an, indem wir dort

${\begin{aligned}\alpha _{1}&=\zeta ,&\alpha _{2}&=\pi ,&\alpha _{3}&=\pi ',&\alpha _{4}&=\pi '',&\alpha _{5}&=\pi ''',\ldots ,\\\gamma _{1}&=\zeta ,&\gamma _{2}&=\zeta ,&\gamma _{3}&=1,&\gamma _{4}&=1,&\gamma _{5}&=1,\ldots \end{aligned}}$

nehmen. Da $\zeta$ nicht die $l$-te Potenz einer Einheit in $k(\zeta )$ ist und $\pi$, $\pi '$, $\pi ''$, … Potenzen von Primidealen sind, deren Exponenten zu $l$ prim ausfallen, so sind die Voraussetzungen des Satzes 152 erfüllt, und es gibt daher nach diesem Satze in $k(\zeta )$ ein Primideal ${\mathfrak {r}}$, für welches bei irgendeinem geeigneten, zu $l$ primen Exponenten $m$

${\begin{aligned}\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {r}}}\right\}^{m}&=\zeta ,&\left\{{\frac {\pi }{\mathfrak {r}}}\right\}^{m}&=\zeta ,&\left\{{\frac {\pi '}{\mathfrak {r}}}\right\}^{m}&=1,&\left\{{\frac {\pi ''}{\mathfrak {r}}}\right\}^{m}=1,\ldots ,&\end{aligned}}$

d. h.

${\begin{aligned}\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {r}}}\right\}&=\zeta ^{*},&\left\{{\frac {\pi }{\mathfrak {r}}}\right\}&=\zeta ^{*},&\left\{{\frac {\pi '}{\mathfrak {r}}}\right\}&=1,&\left\{{\frac {\pi ''}{\mathfrak {r}}}\right\}=1,\ldots &\end{aligned}}$

(146)

wird, wo $\zeta ^{*}$ eine von $1$ verschiedene $l$-te Einheitswurzel darstellt. Aus (146) erhalten wir $\left\{{\frac {p^{hh^{*}}}{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\varepsilon ^{-l}p^{hh^{*}}}{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi \pi '\pi ''\ldots }{\mathfrak {r}}}\right\}=\zeta ^{*}$, und folglich wird wegen Satz 140 (S. 231) auch $\left\{{\frac {\varrho }{p^{hh^{*}}}}\right\}=\zeta ^{*}$, wo $\varrho$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {r}}$ bedeuten soll. Da nun wegen (146) nach Satz 162 (S. 319) $\left\{{\frac {\varrho }{\pi '}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {\varrho }{\pi ''}}\right\}=1$, … sein muß und

$\left\{{\frac {\varrho }{p^{hh^{*}}}}\right\}=\left\{{\frac {\varrho }{\pi }}\right\}\left\{{\frac {\varrho }{\pi '}}\right\}\left\{{\frac {\varrho }{\pi ''}}\right\}\cdots$

ist, so erhalten wir $\left\{{\frac {\varrho }{\pi }}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {p}}}\right\}=\zeta ^{*}$; damit ist gezeigt, daß das Primideal ${\mathfrak {r}}$ alle Bedingungen des Hilfssatzes 41 erfüllt.

Hilfssatz 42. Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein beliebiges Primideal des regulären Kreiskörpers $k(\zeta )$ und $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$ bedeutet, wenn ferner $\varepsilon$ eine beliebige Einheit in $k(\zeta )$, nur nicht die $l$-te Potenz einer Einheit in $k(\zeta )$ ist, so gibt es ein Primideal ${\mathfrak {r}}$ in $k(\zeta )$, das den Bedingungen

$\left\{{\frac {\varepsilon \pi }{\mathfrak {r}}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {p}}}\right\}\neq 1$

genügt.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 322. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/339&oldid=- (Version vom 17.1.2020)