Beweis. Es sei
die Klassenanzahl von
und, wie in § 149 und § 154,
eine positive ganze rationale Zahl, so daß
nach
wird. Es sei
die rationale, durch
teilbare Primzahl und
eine Primärzahl von
; ferner seien
,
, … die untereinander und von
verschiedenen, zu
konjugierten Primideale in
und
,
die betreffenden zu
konjugierten Zahlen in
; sie sind Primärzahlen bez. von
,
, …. Wir haben dann
; da ferner
eine Einheit in
sein muß und überdies primär ausfällt, so stellt nach Satz 156 (s. auch S. 287) dieser Quotient die
-te Potenz einer Einheit
in
dar, es ist also
.
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Nunmehr wenden wir den Satz 152 (S. 276) an, indem wir dort
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nehmen. Da
nicht die
-te Potenz einer Einheit in
ist und
,
,
, … Potenzen von Primidealen sind, deren Exponenten zu
prim ausfallen, so sind die Voraussetzungen des Satzes 152 erfüllt, und es gibt daher nach diesem Satze in
ein Primideal
, für welches bei irgendeinem geeigneten, zu
primen Exponenten
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d. h.
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(146)
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wird, wo
eine von
verschiedene
-te Einheitswurzel darstellt. Aus (146) erhalten wir
, und folglich wird wegen Satz 140 (S. 231) auch
, wo
eine Primärzahl von
bedeuten soll. Da nun wegen (146) nach Satz 162 (S. 319)
,
, … sein muß und
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ist, so erhalten wir
; damit ist gezeigt, daß das Primideal
alle Bedingungen des Hilfssatzes 41 erfüllt.
Hilfssatz 42. Wenn
ein beliebiges Primideal des regulären Kreiskörpers
und
eine Primärzahl von
bedeutet, wenn ferner
eine beliebige Einheit in
, nur nicht die
-te Potenz einer Einheit in
ist, so gibt es ein Primideal
in
, das den Bedingungen
,
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genügt.