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wir diese Einheiten überdies beide so wählen, daß sie nach sind. Wir entnehmen hieraus weiter die Existenz einer Einheit , für welche sowie ausfällt und überdies die Kongruenzeigenschaft nach erfüllt ist. In der Tat, wenn diese Bedingungen weder für noch für zutreffen, so ist gleichzeitig und , und dann würde eine Einheit von der verlangten Beschaffenheit sein. Wir bestimmen nun eine solche Potenz der Einheit , daß wird. Wäre nun , so fiele der Exponent gewiß zu prim aus, und folglich wäre . Es ist außerdem, da eine primäre Zahl darstellt, ersichtlich, daß eine gewisse Potenz von mit einem zu primen Exponenten der Zahl nach kongruent wird. Aus (145) und Hilfssatz 36 (S. 313) folgt noch . Der Kummersche Körper besitzt deshalb nur ein Geschlecht. Wegen ist in diesem Körper weiter zerlegbar; ist ein in aufgehender Primfaktor dieses Körpers, so findet man den Charakter von gleich dem Symbol

,

wenn eine solche -te Einheitswurzel bedeutet, daß ausfällt. Wegen der letzten Gleichung, und da ist, folgt , und wegen ist also auch , d. i. mit Rücksicht auf (145) ; somit ist . Da aber jener eine Charakter des Primideals gleich sein muß, so folgt wegen notwendig auch , und dies stünde im Widerspruch mit der eben gezogenen Folgerung.

§ 158. Das Vorhandensein gewisser Hilfsprimideale, für welche das Reziprozitätsgesetz gilt.

Auf Grund der Sätze 152, 140 und 162 erkennen wir leicht die Existenz gewisser Primideale, die in § 159 und § 160 zur Verwendung kommen werden. Es gelten folgende Tatsachen:

Hilfssatz 41. Wenn ein beliebiges Primideal des regulären Kreiskörpers bedeutet, so gibt es stets ein Primideal in , welches den Bedingungen

, 

genügt.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 321. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/338&oldid=- (Version vom 17.1.2020)