wir diese Einheiten
überdies beide so wählen, daß sie
nach
sind. Wir entnehmen hieraus weiter die Existenz einer Einheit
, für welche
sowie
ausfällt und überdies die Kongruenzeigenschaft
nach
erfüllt ist. In der Tat, wenn diese Bedingungen weder für
noch für
zutreffen, so ist gleichzeitig
und
, und dann würde
eine Einheit von der verlangten Beschaffenheit sein. Wir bestimmen nun eine solche Potenz
der Einheit
, daß
wird. Wäre nun
, so fiele der Exponent
gewiß zu
prim aus, und folglich wäre
. Es ist außerdem, da
eine primäre Zahl darstellt, ersichtlich, daß eine gewisse Potenz von
mit einem zu
primen Exponenten der Zahl
nach
kongruent wird. Aus (145) und Hilfssatz 36 (S. 313) folgt noch
. Der Kummersche Körper
besitzt deshalb nur ein Geschlecht. Wegen
ist
in diesem Körper weiter zerlegbar; ist
ein in
aufgehender Primfaktor dieses Körpers, so findet man den Charakter von
gleich dem Symbol
,
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wenn
eine solche
-te Einheitswurzel bedeutet, daß
ausfällt. Wegen der letzten Gleichung, und da
ist, folgt
, und wegen
ist also auch
, d. i. mit Rücksicht auf (145)
; somit ist
. Da aber jener eine Charakter des Primideals
gleich
sein muß, so folgt wegen
notwendig auch
, und dies stünde im Widerspruch mit der eben gezogenen Folgerung.
§ 158. Das Vorhandensein gewisser Hilfsprimideale, für welche das Reziprozitätsgesetz gilt.
Auf Grund der Sätze 152, 140 und 162 erkennen wir leicht die Existenz gewisser Primideale, die in § 159 und § 160 zur Verwendung kommen werden. Es gelten folgende Tatsachen:
Hilfssatz 41. Wenn
ein beliebiges Primideal des regulären Kreiskörpers
bedeutet, so gibt es stets ein Primideal
in
, welches den Bedingungen
,
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genügt.