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es sei ein Primfaktor von in diesem Körper. Da primär sind, so fällt nach Hilfssatz 30 (S. 289) aus, und da zum Hauptgeschlecht gehört, so ist auch , wie es der Satz 162 behauptet.

Wenn ein Primideal zweiter Art ist, so gilt nach Hilfssatz 37 für jede Einheit in die Gleichung , und folglich enthält, wie im Beweise des Hilfssatzes 37 gezeigt worden ist, die Relativdiskriminante von nur das eine Primideal . Es ist daher wiederum und . Wegen ist in weiter zerlegbar. Es sei ein Primfaktor von in diesem Körper. Da zum Hauptgeschlecht gehört, und mit Rücksicht auf ist , und damit ist der Satz 162 vollständig bewiesen.

Soll wiederum Satz 151 und dementsprechend auch Hilfssatz 35 für nur in dem Fall eines Körpers , für den nach ist, angewandt werden, so ist zum Beweise des Satzes 162 im ersten der beiden vorhin unterschiedenen Fälle der folgende Zusatz erforderlich.

Wenn ein beliebiges Primideal und eine Primärzahl von ist, so erkennen wir aus der Definition des Symbols auf S. 266 und mit Rücksicht auf Hilfssatz 24 (S. 267) die Richtigkeit der Gleichung

. (145)

Ist nun das Primideal von der Beschaffenheit, daß ausfällt, so bestimmen wir eine -te Einheitswurzel derart, daß nach ausfällt, und fassen statt des Kummerschen Körpers den Körper ins Auge. Wir wenden dann die oben dargelegte Schlußweise an. Da

wird und, wie oben, ist, andererseits mit Rücksicht auf die in (145) angegebene Tatsache ausfällt, so folgt , und deshalb schließen wir , d. h. .

Es sei andererseits . Da ein Primideal erster Art ist, so gibt es sicher eine Einheit , für welche ist, und ferner nach Hilfssatz 37 (S. 314) sicher eine Einheit , für welche ausfällt. Auch können

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 320. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/337&oldid=- (Version vom 17.1.2018)