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, d. h. in diesem Körper gehört jede Idealklasse dem Hauptgeschlecht an, und der zuletzt genannte Charakter besitzt daher den Wert . Wir haben nun , d. h. wegen der Formel auf S. 228

; (142)

ferner , d. h.

, (143)

und endlich oder mit Benutzung von (83), (S. 266)

.

Da nach Hilfssatz 36 und nach Hilfssatz 30 ist, so geht letztere Formel in

(144)

über. Da wegen der von uns gemachten Voraussetzung

 und 

ist, so folgt aus (144) , und diese Gleichung liefert mit Benutzung der Formeln (142), (143) die im Hilfssatz 39 behauptete Gleichung.

Will man wiederum den Satz 151 für nur in dem Falle eines Körpers anwenden, für den nach ausfällt, so wähle man im obigen Beweise die Einheit derart, daß man außer noch bei einem geeigneten, zu primen Exponenten nach hat. Eine Bestimmung der Einheit in dieser Weise ist, wie man leicht sieht, sicher stets dann möglich, wenn ist. Ist aber und zugleich , so kann jene Bedingung ebenfalls erfüllt werden, indem man für eine geeignete Potenz von nimmt. Ob die fragliche Bedingung sich erfüllen läßt, bleibt also nur dann zweifelhaft, wenn gleichzeitig und ausfällt. In diesem Falle vertauschen wir bei dem obigen Beweise die Rollen von einerseits und andererseits; dann bleibt offenbar nur noch der Fall unerledigt, daß zugleich , und , ausfällt. In diesem Falle erkennt man aber aus den letzten zwei Beziehungen die Behauptung des Hilfssatzes 39 ohne weiteres als richtig.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 318. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/335&oldid=- (Version vom 17.1.2018)