es sei
einer dieser Primfaktoren von
. Das Charakterensystem einer Zahl
des Körpers
in
besteht aus dem einen Charakter
; derselbe fällt nach Hilfssatz 36 stets gleich
aus, wenn man für
eine Einheit in
nimmt. Der Charakter des Primideals
in
hat daher den Wert
, und dieser muß wegen der vorhin bewiesenen Tatsache gleich
sein. Damit ist der Hilfssatz 37 vollständig bewiesen.
Will man wiederum Satz 151 für
nur in dem Falle eines Körpers
, für den
nach
ist, als bewiesen annehmen, so gilt auch die Einteilung der Geschlechter und insbesondere der Hilfssatz 34 nur für diesen Fall. Wir müssen dann zum Beweise der zweiten Aussage des Hilfssatzes 37 erst
und dann
wählen, wobei
eine beliebige Einheit in
und
dazu eine solche
-te Einheitswurzel bedeute, daß
nach
wird. Durch Verbindung der beiden sich dabei ergebenden Resultate erkennen wir dann die vollständige Richtigkeit der zweiten Aussage des Hilfssatzes 37.
§ 156. Hilfssätze über Primideale erster Art im regulären Kreiskörper.
Wir beweisen der Reihe nach folgende Hilfssätze über Primideale erster Art im Körper
:
Hilfssatz 38. Es sei
ein Primideal erster Art im regulären Kreiskörper
und
eine Primärzahl von
. Wenn es dann eine Einheit
in
gibt, so daß
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statthat, so gilt für jede beliebige Einheit
in
die Gleichung:
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Beweis. Der durch
bestimmte Kummersche Körper
besitzt, weil
ein Primideal erster Art ist, nach dem Beweise des Hilfssatzes 37 zwei ambige Primideale
und
, nämlich diejenigen, deren
-te Potenzen
bez.
sind. Da das ambige Primideal
offenbar Hauptideal in
ist, so beträgt für diesen Körper der Grad der aus den ambigen Idealen entspringenden Klassenschar
oder
, je nachdem
Hauptideal ist oder nicht. Wegen des Satzes 158 besitzt daher, wenn
die dort erklärte Bedeutung für den Körper
hat, die Zahl
den Wert
der
, d. h. es ist
oder
. Da die Einheit
infolge der Voraussetzung