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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.33

es sei ${\mathfrak {Q}}$ einer dieser Primfaktoren von ${\mathfrak {q}}$. Das Charakterensystem einer Zahl $\alpha (\neq 0)$ des Körpers $k(\zeta )$ in $k({\sqrt[{l}]{\xi }},\zeta )$ besteht aus dem einen Charakter $\left\{{\frac {\alpha ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}$; derselbe fällt nach Hilfssatz 36 stets gleich $1$ aus, wenn man für $\alpha$ eine Einheit in $k(\zeta )$ nimmt. Der Charakter des Primideals ${\mathfrak {Q}}$ in $k({\sqrt[{l}]{\xi }},\zeta )$ hat daher den Wert $\left\{{\frac {\varkappa ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}$, und dieser muß wegen der vorhin bewiesenen Tatsache gleich $1$ sein. Damit ist der Hilfssatz 37 vollständig bewiesen.

Will man wiederum Satz 151 für ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ nur in dem Falle eines Körpers $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$, für den $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ ist, als bewiesen annehmen, so gilt auch die Einteilung der Geschlechter und insbesondere der Hilfssatz 34 nur für diesen Fall. Wir müssen dann zum Beweise der zweiten Aussage des Hilfssatzes 37 erst $\xi =\zeta ^{l-1}$ und dann $\xi =\zeta ^{*}\varepsilon ^{l-1}$ wählen, wobei $\varepsilon$ eine beliebige Einheit in $k(\zeta )$ und $\zeta ^{*}$ dazu eine solche $l$-te Einheitswurzel bedeute, daß $\zeta ^{*}\varepsilon ^{l-1}\equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ wird. Durch Verbindung der beiden sich dabei ergebenden Resultate erkennen wir dann die vollständige Richtigkeit der zweiten Aussage des Hilfssatzes 37.

§ 156. Hilfssätze über Primideale erster Art im regulären Kreiskörper.

Wir beweisen der Reihe nach folgende Hilfssätze über Primideale erster Art im Körper $k(\zeta )$:

Hilfssatz 38. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal erster Art im regulären Kreiskörper $k(\zeta )$ und $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$. Wenn es dann eine Einheit $\varepsilon$ in $k(\zeta )$ gibt, so daß

$\left\{{\frac {\pi ,\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}\neq 1,\quad \left\{{\frac {\varepsilon }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}$

statthat, so gilt für jede beliebige Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$ die Gleichung:

$\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}.$

Beweis. Der durch ${\sqrt[{l}]{\pi }}$ bestimmte Kummersche Körper $k({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta )$ besitzt, weil ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal erster Art ist, nach dem Beweise des Hilfssatzes 37 zwei ambige Primideale ${\mathfrak {L}}$ und ${\mathfrak {P}}$, nämlich diejenigen, deren $l$-te Potenzen ${\mathfrak {l}}$ bez. ${\mathfrak {p}}$ sind. Da das ambige Primideal ${\mathfrak {P}}$ offenbar Hauptideal in $k({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta )$ ist, so beträgt für diesen Körper der Grad der aus den ambigen Idealen entspringenden Klassenschar $0$ oder $1$, je nachdem ${\mathfrak {L}}$ Hauptideal ist oder nicht. Wegen des Satzes 158 besitzt daher, wenn $m$ die dort erklärte Bedeutung für den Körper $k({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta )$ hat, die Zahl $2+m-{\frac {l+1}{2}}$ den Wert $0$ der $1$, d. h. es ist $m={\frac {l-3}{2}}$ oder $m={\frac {l-1}{2}}$. Da die Einheit $\varepsilon$ infolge der Voraussetzung

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 316. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/333&oldid=- (Version vom 4.6.2018)