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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.33

wir damit die oben gefundenen Bedingungen für $e$ zusammen, so folgt, daß $e=l-1$ sein muß. Da nun $\lambda ^{l-1}\equiv -l$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ wird, so ergibt sich $\pi \equiv a-b\,l$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$, und folglich genügt die Norm von $\pi$ der Kongruenz

$n(\pi )\equiv (a-b\,l)^{l-1}\equiv \pi ^{l-1},\quad ({\mathfrak {l}}^{l}).$

Andererseits entnehmen wir aus der Definition des Symbols auf S. 266 unter Berücksichtigung des Hilfssatzes 24

$\left\{{\frac {\zeta ,\pi }{\mathfrak {l}}}\right\}=\zeta ^{\frac {1-n(\pi )}{l}},$

und da das Symbol linker Hand den Wert $1$ haben soll, so folgt $n(\pi )\equiv 1$ nach $l^{2}$, d. h. $\pi ^{l-1}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ oder $\pi \equiv \pi ^{l}$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$. Nach Satz 148 besitzt infolge der letzteren Kongruenz der durch ${\sqrt[{l}]{\pi }}$ bestimmte Kummersche Körper $k({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta )$ eine zu ${\mathfrak {l}}$ prime Relativdiskriminante, und es ist mithin ${\mathfrak {p}}$ das einzige in der Relativdiskriminante von $k({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta )$} aufgehende Primideal. Setzen wir ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{l}$, so ist ${\mathfrak {P}}$ das einzige ambige Primideal dieses Körpers. Aus ${\sqrt[{l}]{\pi }}={\mathfrak {P}}^{hh^{*}}={\mathfrak {Pp}}^{\frac {hh^{*}-1}{l}}$ folgt, daß ${\mathfrak {P}}$ einem Ideal des Körpers $k(\zeta )$ äquivalent ist. Die aus allen ambigen Idealen entspringende Klassenschar hat also für den Kummerschen Körper $k({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta )$ den Grad $0$. Da die Anzahl $t$ der ambigen Ideale für diesen Körper $1$ ist, so folgt nach Satz 158, wenn $m$ die dort festgesetzte Bedeutung für diesen Körper hat, $1+m-{\frac {l+1}{2}}=0$, d. h. $m={\frac {l-1}{2}}$. Es ist folglich jede Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$ die Relativnorm einer Einheit in $k({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta )$, und mithin wird nach Satz 151 stets $\left\{{\frac {\xi ,\pi }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ und also, da $\left\{{\frac {\xi ,\pi }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\xi ^{hh^{*}}}{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {p}}}\right\}$ ist, auch $\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$, entgegen unserer Annahme, wonach das Primideal ${\mathfrak {p}}$ von der ersten Art sein sollte.

Um die zweite Aussage des Hilfssatzes 37 zu beweisen, betrachten wir ähnlich wie im Beweise des Hilfssatzes 36 den Kummerschen Körper $k({\sqrt[{l}]{\xi }},\zeta )$, wo $\xi$ eine beliebige Einheit in $k(\zeta )$, nur nicht die $l$-te Potenz einer Einheit in $k(\zeta )$, sein soll. Wie am Schlusse des § 147 bewiesen wurde, ist jede Einheit in $k(\zeta )$ die Relativnorm einer Einheit in $k{\sqrt[{l}]{\xi }},\zeta )$ und daher haben die beiden in Satz 158 und in Satz 159 bezeichneten Einheitenscharen für diesen Körper den gemeinsamen Grad

$m=n={\frac {l-1}{2}}$.

Da ferner für ihn $t=1$ ist, so folgt aus Hilfssatz 34 $g\leqq 1$; mithin ist $g=1$, d. h. alle Idealklassen des Körpers $k({\sqrt[{l}]{\xi }},\zeta )$ gehören zum Hauptgeschlecht. Da ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal zweiter Art sein soll, so ist $\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {q}}}\right\}=1$, und mithin zerfällt nach Satz 149 ${\mathfrak {q}}$ in $l$ voneinander verschiedene Primideale des Körpers $k({\sqrt[{l}]{\xi }},\zeta )$;

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 315. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/332&oldid=- (Version vom 4.6.2018)