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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.33

das sogenannte Reziprozitätsgesetz für $l$-te Potenzreste. Außerdem gelten, wenn $\xi$ eine beliebige Einheit in $k(\zeta )$ und $\pi$ eine Primärzahl von dem Primideal ${\mathfrak {p}}$ bedeutet, die Regeln

$\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}$, $\left\{{\frac {\lambda }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\lambda }{\mathfrak {l}}}\right\}$,

die beiden sogenannten Ergänzungssätze zum Reziprozitätsgesetz für $l$-te Potenzreste [Kummer (10^[1], 12^[2], 18^[3], 19^[4], 20^[5], 21^[6])].

Wir führen den Nachweis dieses Fundamentalsatzes in den folgenden Paragraphen § 155 bis § 161 des gegenwärtigen Kapitels durch schrittweises Vorgehen, indem wir für besondere reguläre Kummersche Körper die im vorigen Kapitel gefundenen Sätze und Hilfssätze zur Anwendung bringen.

§ 155. Die Primideale erster und zweiter Art im regulären Kreiskörper.

Es ist für die folgenden Entwicklungen von Nutzen, zwei Arten von Primidealen in $k(\zeta )$ zu unterscheiden: ein solches von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenes Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $k(\zeta )$, nach welchem nicht jede vorhandene Einheit in $k(\zeta )$ $l$-ter Potenzrest ist, möge ein Primideal erster Art heißen; dagegen möge jedes von ${\mathfrak {l}}$ verschiedene Primideal ${\mathfrak {q}}$ in $k(\zeta )$, nach welchem alle Einheiten in $k(\zeta )$ $l$-te Potenzreste sind, ein Primideal zweiter Art heißen [Kummer (20)]. Wir beweisen zunächst folgende Hilfssätze:

Hilfssatz 36. Wenn $\xi$ und $\varepsilon$ beliebige Einheiten des regulären Kreiskörpers $k(\zeta )$ sind und $\lambda =1-\zeta$, ${\mathfrak {l}}=(\lambda )$ gesetzt wird, so gelten stets die Gleichungen

$\left\{{\frac {\xi ,\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}=1,\quad \left\{{\frac {\lambda ,\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$.

Beweis. Wenn $\varepsilon$ die $l$-te Potenz einer Einheit in $k(\zeta )$ ist, so leuchtet die Richtigkeit der aufgestellten Gleichungen von selbst ein. Andernfalls definiert ${\sqrt[{l}]{\varepsilon }}$ einen Kummerschen Körper $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon }},\zeta )$, und zwar einen solchen, für welchen die Betrachtungen am Schluß des § 147 zutreffen. Es sind daher alle Einheiten in $k(\zeta )$ und zudem auch die Zahl $\lambda$ Relativnormen von Zahlen in $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon }},\zeta )$, und hieraus ergibt sich wegen Satz 151 die Richtigkeit der Gleichungen des Hilfssatzes 36.

Will man hier den Satz 151 für ${\mathfrak {m}}={\mathfrak {l}}$ nur in dem auf S. 273 bis S. 274 ausführlich behandelten Fall anwenden, wo die betreffende Zahl $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ ist, so mache man die letzten Schlüsse zunächst, indem man $\zeta ^{l-1}$ für die Einheit $\varepsilon$ nimmt; dann folgt $\left\{{\frac {\xi ,\zeta }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$ und $\left\{{\frac {\lambda ,\zeta }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$. Weiter bestimme man, wenn $\varepsilon$ eine beliebige Einheit in $k(\zeta )$ bedeutet, eine solche $l$-te Einheitswurzel $\zeta ^{*}$, daß $\zeta ^{*}\varepsilon ^{l-1}\equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ ausfällt. Nimmt man dann im oben

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1. Über allgemeine Reziprozitätsgesetze für beliebig hohe Potenzreste. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1850.^{[WS 1]}
2. Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reziprozitätsgesetzen. J. Math. 44 (1851).^{[WS 2]}
3. Über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze der Potenzreste. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1858.^{[WS 3]}
4. Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reziprozitätsgesetzen. J. Math. 56 (1858).^{[WS 4]}
5. Über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1859.^{[WS 5]}
6. Zwei neue Beweise der allgemeinen Reziprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1861.^{[WS 6]} Abgedruckt im J. Math. 100.^{[WS 7]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Die allgemeinen Reziprocitätsgesetze für beliebig hohe Potenzreste, in: Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie, 1850, S. 154–165 Berlin-Brandenburgische Akademie
2. Kummer, Ernst Eduard: Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 44 (1851), S. 93–146 GDZ Göttingen
3. Kummer, Ernst Eduard: Über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze der Potenzreste, in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858, S. 158–171 Berlin-Brandenburgische Akademie
4. Kummer, Ernst Eduard: Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 56 (1858), S. 270–279 GDZ Göttingen
5. Kummer, Ernst Eduard: Über die allgemeinen Reciprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1859, S. 19–159 Internet Archive; Auszug in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858 S. 158–171 Berlin-Brandenburgische Akademie
6. Kummer, Ernst Eduard: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1861, S. 81–122 Internet Archive
7. Kummer, Ernst Eduard: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin aus dem Jahre 1861 (1862), S. 81–122 Internet Archive. Abgedruckt in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 100, (1887) S. 10–50 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 313. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/330&oldid=- (Version vom 4.6.2018)