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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 4

Die Trägheitsgruppe $g_{t}$ eines Primideals ist eine invariante (d. h. ausgezeichnete) Untergruppe der Zerlegungsgruppe $g_{z}$.

Ist $z^{\ast }$ eine beliebige Substitution der Zerlegungsgruppe, so folgt aus der Kongruenz $\Phi (P)\equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}$ notwendig $\Phi (z^{\ast }P)\equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}$ und da die Kongruenz $\Phi (x)\equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}$ nur die $f$ Kongruenzwurzeln $P$, $P^{p}$, $P^{p^{2}}$, …, $P^{p^{f-1}}$ besitzt, so folgt $z^{\ast }P\equiv P^{p^{i}}$ nach ${\mathfrak {P}}$‚ wo $i$ einen der $f$ Werte $0$, $1$, …, $f-1$ hat. Da andrerseits $P^{p^{i}}\equiv z^{i}P$ ist, so wird $z^{-i}z^{\ast }P\equiv P$ nach ${\mathfrak {P}}$ und mithin ist $z^{-i}z^{\ast }$ eine Substitution $t$ der Trägheitsgruppe, d. h. $z^{\ast }=z^{i}t$. In dieser letzteren Gestalt sind also sämtliche Substitutionen $z$, $z'$, $z''$, … der Zerlegungsgruppe darstellbar und da auch umgekehrt $z^{i}t$ für $i=0$, $1$, …, $f-1$ lauter voneinander verschiedene Substitutionen darstellt, so ist $r_{z}=fr_{t}$. Wir fassen diese Resultate in folgendem Satze zusammen:

Der Grad der Zerlegungsgruppe $g_{z}$ eines Primideals ${\mathfrak {P}}$ ist gleich dem Produkte des Grades $f$ von ${\mathfrak {P}}$ in den Grad der Trägheitsgruppe $g_{t}$. Man erhält die Substitutionen der Zerlegungsgruppe, wenn man die Substitutionen der Trägheitsgruppe mit $1$, $z$, $z^{2}$, …, $z^{f-1}$ multipliziert, wo $z$ eine geeignet gewählte Substitution der Zerlegungsgruppe ist. $z^{f}$ gehört der Trägheitsgruppe an.

Es erweist sich jetzt die Einführung der folgenden allgemeinen Begriffe als notwendig. Bilden die $r$ Substitutionen $s_{1}=1$, $s_{2}$, …, $s_{r}$ von $G$ eine Untergruppe $g$ vom $r$-ten Grade, so bestimmt die Gesamtheit aller Zahlen des Körpers $K$, welche bei Anwendung einer jeden Substitution von $g$ ungeändert bleiben, einen in $K$ enthaltenen Unterkörper $\varkappa$ vom Grade $m={\tfrac {M}{r}}$.

Ist $A$ eine beliebige Zahl, ${\mathfrak {J}}$ ein beliebiges Ideal in $K$, so heißt das Produkt

$v(A)=s_{1}A\cdot s_{2}A\ldots s_{r}A$

die Partialnorm von $A$ in bezug auf die Gruppe $g$ oder den Unterkörper $\varkappa$; des gleichen heißt

$v({\mathfrak {J}})=s_{1}{\mathfrak {J}}\cdot s_{2}{\mathfrak {J}}\ldots s_{r}{\mathfrak {J}}$

die Partialnorm des Ideals ${\mathfrak {J}}$ in bezug auf den Körper $\varkappa$.

Die Partialnorm $\lambda (A)$ einer Zahl $A$ ist offenbar stets eine Zahl in $\varkappa$. Wir sagen nun, ein Ideal ${\mathfrak {J}}$ des Körpers $K$ liege im Körper $\varkappa$ oder sei ein Ideal des Körpers $\varkappa$, wenn dasselbe als größter gemeinsamer Teiler von Zahlen des Körpers $\varkappa$ dargestellt werden kann. Die Partialnorm $v({\mathfrak {J}})$ eines Ideals ${\mathfrak {J}}$ ist stets ein Ideal, welches im Körper $\varkappa$ liegt.

Der zur Zerlegungsgruppe $g_{z}$ gehörige Körper $\varkappa _{z}$ werde Zerlegungskörper genannt; derselbe ist vom Grade $m_{z}={\tfrac {M}{r_{z}}}$.

Der zur Trägheitsgruppe $g_{t}$ gehörige Körper $\varkappa _{t}$ werde Trägheitskörper genannt; derselbe ist vom Grade $m_{t}={\tfrac {M}{r_{t}}}$ und enthält den Zerlegungskörper als Unterkörper.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 15. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/32&oldid=- (Version vom 31.7.2018)