Zum Beweise dieses Hilfssatzes bilden wir die ganze ganzzahlige Funktion
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und erhalten dann wegen
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die Kongruenz
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welche die Richtigkeit des Hilfssatzes erkennen läßt.
Nun seien
diejenigen sämtlichen
Substitutionen der Gruppe
, welche das Primideal
ungeändert lassen; dieselben bilden eine Gruppe vom
-ten Grade, welche die Zerlegungsgruppe des Primideals
genannt und mit
bezeichnet werden soll.
Nehmen wir
‚ wo
eine nicht durch
, wohl aber durch alle zu
konjugierten und von
verschiedenen Primideale teilbare ganze Zahl ist, so zeigt die Anwendung des Hilfssatzes die Existenz einer Substitution
von der Art, daß die Kongruenz
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oder
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gilt. Hieraus folgt
nach
und
nach
. Die erste Inkongruenz lehrt, daß
nicht durch
teilbar ist; folglich wird
oder
d. h. die Substitution
gehört der Zerlegungsgruppe
an. Wir setzen
und haben dann die Kongruenz
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.
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Die wiederholte Anwendung der Substitution
liefert die Kongruenzen
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Infolge der letzten Kongruenz ist
eine Substitution von der Beschaffenheit, daß für jede beliebige ganze Zahl
des Körpers
die Kongruenz
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erfüllt ist. Es seien
diejenigen sämtlichen
Substitutionen der Gruppe
, denen ebenfalls die genannte Eigenschaft zukommt; dann wird leicht gezeigt, daß diese
Substitutionen eine Gruppe
-ten Grades bilden. Diese Gruppe werde die Trägheitsgruppe des Primideals
genannt und mit
bezeichnet. Da, wie ebenfalls leicht ersichtlich ist, das Primideal
bei der Anwendung einer jeden der Substitutionen
ungeändert bleibt, so ist die Trägheitsgruppe
eine Untergruppe der Zerlegungsgruppe
; es ergibt sich ferner leicht der Satz: