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Beweis. Wir haben, so lange ist,

(100)

wo über alle Ideale und jedesmal über alle Primideale des Körpers zu erstrecken ist. Da der Ausdruck , wie in § 50 gezeigt worden ist, für endlich bleibt, so folgt aus (100), indem die linke Seite für unendlich wird, daß die über alle Primideale des Körpers erstreckte Summe

bei Annäherung von an über alle Grenzen wächst. Ist ferner eine beliebige ganze Zahl in , so gilt ähnlich für stets

(101)

und hier bleibt wiederum für endlich. Es sei jetzt eine der Zahlen , , …, . Wir setzen in (101)

und multiplizieren die entstehende Gleichung noch mit dem Faktor wir erteilen dann jedem der Exponenten , , …, nacheinander alle die Werte , , …, , jedoch so, daß das eine Wertsystem , , …, ausgeschlossen bleibt. Werden die auf diese Weise hervorgehenden Gleichungen sämtlich zu (100) addiert, so entsteht die Beziehung

(102)

wo für den Augenblick

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 277. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/294&oldid=- (Version vom 2.10.2016)