so gehört, wie man aus Satz 149 schließt, zu einem beliebigen Primideal
in dem Produkte das Glied
oder oder ,
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je nachdem
oder
oder
und
ausfällt. Wir schreiben diese drei Ausdrücke in der ihnen gemeinschaftlichen Form
,
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und erhalten so
;
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(99)
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darin zeigt das Produkt
an, daß der Exponent
jeden der Werte
,
, …,
durchlaufen soll, und es sind die beiden Produkte
über alle Primideale
in
zu erstrecken. Nun stellt jeder der beiden Ausdrücke
,
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eine endliche und von
verschiedene Größe dar, wie wir erkennen, wenn wir den Satz 56 einmal auf den Kreiskörper
und dann auf den Kummerschen Körper
anwenden. Durch Multiplikation der Gleichung (99) mit
und Übergang zur Grenze für
ergibt sich dann, daß auch der im Hilfssatz 27 angegebene Ausdruck eine endliche und von
verschiedene Größe besitzt.
§ 135.
Primideale des Kreiskörpers
mit vorgeschriebenen Potenzcharakteren.
Satz 152. Es seien
, …,
irgend
ganze Zahlen des Kreiskörpers
, welche die Bedingung erfüllen, daß das Produkt
,
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wenn man jeden der Exponenten
,
, …,
die Werte
,
,
, …,
durchlaufen läßt, jedoch das eine Wertsystem
,
, …,
ausschließt, dabei niemals die
-te Potenz einer Zahl in
wird; es seien ferner
,
, …,
nach Belieben vorgeschriebene
-te Einheitswurzeln: dann gibt es im Kreiskörper
stets unendlich viele Primideale
, für die jedesmal bei einem gewissen zu
primen Exponenten
, , …,
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wird [Kummer (20[1])].
- ↑ [360] Über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1859.[WS 1]
Anmerkungen (Wikisource)