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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 3

von der Eigenschaft, daß jede Zahl des niederen Körpers bei einer Substitution dieser Gruppe ungeändert bleibt und daß auch umgekehrt jede bei diesen Substitutionen ungeändert bleibende Zahl des Galoisschen Körpers dem niederen Körper angehört. Nun zerlege man ein Ideal ${\mathfrak {J}}=({\mathsf {A}}_{1},\,{\mathsf {A}}_{2},\,\ldots ,\,{\mathsf {A}}_{l})$ des niederen Körpers im Galoisschen Körper in Primideale etwa ${\mathfrak {J}}={\mathfrak {p}}_{1}\ldots {\mathfrak {p}}_{m}$ und bestimme dann die Ideale ${\mathfrak {k}}_{1}$, …, ${\mathfrak {k}}_{m}$ derart, daß die Produkte ${\mathfrak {p}}_{1}{\mathfrak {k}}_{1}$, …, ${\mathfrak {p}}_{m}{\mathfrak {k}}_{m}$ Hauptideale werden. Setzen wir ${\mathfrak {k}}={\mathfrak {k}}_{1}\ldots {\mathfrak {k}}_{m}$, so wird auch ${\mathfrak {Jk}}$ gleich einem Hauptideal $\eta$ und es gilt daher eine Gleichung von der Gestalt

$\eta ={\mathsf {A}}_{1}\varkappa _{1}+{\mathsf {A}}_{2}\varkappa _{2}+\cdots +{\mathsf {A}}_{l}\varkappa _{l}$,

wo $\varkappa _{1}$, $\varkappa _{2}$, …, $\varkappa _{l}$ Zahlen des Ideals ${\mathfrak {k}}$ sind. Auf diese Gleichung wende man die Substitutionen $\vartheta =\vartheta '$, …, $\vartheta =\vartheta ^{(v-1)}$ an; es ergeben sich dann der Reihe nach $v-1$ Gleichungen von der Gestalt

${\begin{alignedat}{5}&\eta '&&={\mathsf {A}}_{1}\varkappa _{1}'&&+&&{\mathsf {A}}_{2}\varkappa _{2}'&&+\cdots +{\mathsf {A}}_{l}\varkappa _{l}',\\&&&&&&&\vdots &&\\&\eta ^{(v-1)}&&={\mathsf {A}}_{1}\varkappa _{1}^{(v-1)}&&+&&{\mathsf {A}}_{2}\varkappa _{2}^{(v-1)}&&+\cdots +{\mathsf {A}}_{l}\varkappa _{l}^{(v-1)}.\end{alignedat}}$

Die Multiplikation aller $v$ Gleichungen liefert

${\mathsf {H}}={\mathsf {A}}_{1}^{v}{\mathsf {K}}_{1}+{\mathsf {A}}_{1}^{v-1}{\mathsf {A}}_{2}{\mathsf {K}}_{2}+{\mathsf {A}}_{1}^{v-2}{\mathsf {A}}_{2}^{2}{\mathsf {K}}_{3}+\cdots +{\mathsf {A}}_{l}^{v}{\mathsf {\mathsf {K}}}_{M}$,

wo sowohl ${\mathsf {H}}=\eta \eta '\ldots \eta ^{(v-1)}$ als auch die Koeffizienten ${\mathsf {K}}_{1}$, …, ${\mathsf {K}}_{M}$ bei Anwendung der Substitutionen der Gruppe $G$ ungeändert bleiben und daher Zahlen des niederen Körpers sind. Bezeichnen wir das Ideal (${\mathsf {K}}_{1}$, …, ${\mathsf {K}}_{M}$) des niederen Körpers mit ${\mathfrak {K}}$, so gilt im niederen Körper die Gleichung ${\mathsf {H}}={\mathfrak {J}}^{v}{\mathfrak {K}}$. In der Tat ist ${\mathsf {H}}$ infolge der vorigen Gleichung eine Zahl des Ideals ${\mathfrak {J}}^{v}{\mathfrak {K}}$ und es bedarf daher nur des Nachweises, daß jede Zahl des Ideals ${\mathfrak {J}}^{v}{\mathfrak {K}}$ durch ${\mathsf {H}}$ teilbar ist. Nun ergibt wegen $\eta ={\mathfrak {Jk}}$ jede der Zahlen ${\mathsf {A}}_{1}$, …, ${\mathsf {A}}_{l}$ mit jeder der Zahlen $\varkappa _{1}$, …, $\varkappa _{l}$ multipliziert ein durch $\eta$ teilbares Produkt, ebenso ergibt jede der Zahlen ${\mathsf {A}}_{1}$, …, ${\mathsf {A}}_{l}$ mit jeder der Zahlen $\varkappa '_{1}$, …, $\varkappa '_{l}$, multipliziert ein durch $\eta '$ teilbares Produkt usw. und hieraus folgt, daß das Produkt von irgend $v$ Zahlen ${\mathsf {A}}_{1}$, …, ${\mathsf {A}}_{l}$ multipliziert mit einer der Zahlen ${\mathsf {K}}_{1}$, …, ${\mathsf {K}}_{M}$ durch $\eta \eta '\ldots \eta ^{(v-1)}={\mathsf {H}}$ teilbar ist. Setzen wir ${\mathfrak {J}}^{v-1}{\mathfrak {K}}={\mathfrak {L}}$‚ so wird ${\mathfrak {JL}}={\mathsf {H}}$ und diese Gleichung zeigt, daß zu jedem vorgelegten Ideal des niederen Körpers stets ein Ideal ${\mathfrak {L}}$ des niederen Körpers derart bestimmt werden kann, daß das Produkt ${\mathfrak {JL}}$ ein Hauptideal ${\mathsf {H}}$ des niederen Körpers wird. Aus diesem Satze kann der Satz von der eindeutigen Zerlegung eines Ideals in Primideale für den niederen Körper genau so geschlossen werden, wie oben aus Satz III die Sätze IV und V abgeleitet worden sind. Da ferner ein jeder beliebige Körper als ein Körper aufgefaßt werden kann, welcher in einem Galoisschen Körper als niederer Körper enthalten ist, so haben wir hiermit den Satz von der eindeutigen Zerlegung eines Ideals allgemein als gültig erkannt.

Ostseebad Cranz, den 26. September 1893.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 12. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/29&oldid=- (Version vom 31.7.2018)