von der Eigenschaft, daß jede Zahl des niederen Körpers bei einer Substitution dieser Gruppe ungeändert bleibt und daß auch umgekehrt jede bei diesen Substitutionen ungeändert bleibende Zahl des Galoisschen Körpers dem niederen Körper angehört. Nun zerlege man ein Ideal
des niederen Körpers im Galoisschen Körper in Primideale etwa
und bestimme dann die Ideale
, …,
derart, daß die Produkte
, …,
Hauptideale werden. Setzen wir
, so wird auch
gleich einem Hauptideal
und es gilt daher eine Gleichung von der Gestalt
,
|
|
wo
,
, …,
Zahlen des Ideals
sind. Auf diese Gleichung wende man die Substitutionen
, …,
an; es ergeben sich dann der Reihe nach
Gleichungen von der Gestalt
|
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Die Multiplikation aller
Gleichungen liefert
|
,
|
wo sowohl
als auch die Koeffizienten
, …,
bei Anwendung der Substitutionen der Gruppe
ungeändert bleiben und daher Zahlen des niederen Körpers sind. Bezeichnen wir das Ideal (
, …,
) des niederen Körpers mit
, so gilt im niederen Körper die Gleichung
. In der Tat ist
infolge der vorigen Gleichung eine Zahl des Ideals
und es bedarf daher nur des Nachweises, daß jede Zahl des Ideals
durch
teilbar ist. Nun ergibt wegen
jede der Zahlen
, …,
mit jeder der Zahlen
, …,
multipliziert ein durch
teilbares Produkt, ebenso ergibt jede der Zahlen
, …,
mit jeder der Zahlen
, …,
, multipliziert ein durch
teilbares Produkt usw. und hieraus folgt, daß das Produkt von irgend
Zahlen
, …,
multipliziert mit einer der Zahlen
, …,
durch
teilbar ist. Setzen wir
‚ so wird
und diese Gleichung zeigt, daß zu jedem vorgelegten Ideal des niederen Körpers stets ein Ideal
des niederen Körpers derart bestimmt werden kann, daß das Produkt
ein Hauptideal
des niederen Körpers wird. Aus diesem Satze kann der Satz von der eindeutigen Zerlegung eines Ideals in Primideale für den niederen Körper genau so geschlossen werden, wie oben aus Satz III die Sätze IV und V abgeleitet worden sind. Da ferner ein jeder beliebige Körper als ein Körper aufgefaßt werden kann, welcher in einem Galoisschen Körper als niederer Körper enthalten ist, so haben wir hiermit den Satz von der eindeutigen Zerlegung eines Ideals allgemein als gültig erkannt.
- Ostseebad Cranz, den 26. September 1893.