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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 3

Satz 3, daß eines der Primideale ${\mathfrak {p}}'$, ${\mathfrak {q}}'$, ${\mathfrak {r}}'$, …, ${\mathfrak {l}}'\equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}$ ist. Es sei etwa ${\mathfrak {p}}'\equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}$; dann wird, weil ${\mathfrak {p}}'$ ein Primideal ist, notwendig ${\mathfrak {p}}'={\mathfrak {p}}$. Nun konstruiere man nach Satz III ein Ideal ${\mathfrak {k}}$ von der Art, daß ${\mathfrak {pk}}$ gleich einem Hauptideal $\eta$ wird und multipliziere die beiden obigen Darstellungen von ${\mathfrak {j}}$ mit ${\mathfrak {k}}$. Wegen ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}'$ folgt dann

$\eta {\mathfrak {q}}{\mathfrak {r}}\cdots {\mathfrak {l}}=\eta {\mathfrak {q}}'{\mathfrak {r}}'\cdots {\mathfrak {l}}'$

und hieraus nach Satz 4:

${\mathfrak {j}}'={\mathfrak {q}}{\mathfrak {r}}\cdots {\mathfrak {l}}={\mathfrak {q}}'{\mathfrak {r}}'\cdots {\mathfrak {l}}'$.

Auf diese doppelte Zerlegung des Ideals ${\mathfrak {j}}'$ wende man das eben eingeschlagene Verfahren von neuem an: man erkennt so schließlich die Identität der beiden vorgelegten Darstellungen des Ideals ${\mathfrak {j}}$.

V. Ein jedes Ideal ${\mathfrak {j}}$ läßt sich stets als Produkt von Primidealen darstellen.

Ist ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal, nach welchem ${\mathfrak {j}}\equiv 0$ wird, so bestimme man nach Satz III ein Ideal ${\mathfrak {k}}$ derart, daß ${\mathfrak {pk}}$ gleich einem Hauptideal $\eta$ wird. Durch Multiplikation jener Kongruenz mit ${\mathfrak {k}}$ folgt dann ${\mathfrak {kj}}\equiv 0$ nach dem Ideal ${\mathfrak {pk}}$ und gemäß Satz 4 ist daher ${\mathfrak {kj}}=\eta {\mathfrak {j}}'$. Nach Multiplikation dieser Gleichung mit ${\mathfrak {p}}$ und Division durch $\eta$ ergibt sich ${\mathfrak {j}}={\mathfrak {pj}}'$. Wenden wir auf das Ideal ${\mathfrak {j}}'$ das nämliche Verfahren an, wie soeben auf ${\mathfrak {j}}$, so ergibt sich ${\mathfrak {j}}={\mathfrak {qj}}''$, wo ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal bedeutet, nach welchem ${\mathfrak {j}}'\equiv 0$ ist. In gleicher Weise erhalten wir ${\mathfrak {j}}''={\mathfrak {rj}}'''$‚ wo ${\mathfrak {r}}$ ein Primideal bedeutet, nach welchem ${\mathfrak {j}}''\equiv 0$ ist usw. Die Einsetzung dieser Werte von ${\mathfrak {j}}'$, ${\mathfrak {j}}''$, … liefert für das Ideal ${\mathfrak {j}}$ der Reihe nach die Darstellungen ${\mathfrak {j}}={\mathfrak {pqj}}''$, ${\mathfrak {j}}={\mathfrak {pqrj}}'''$, …. Nun gibt es nach Satz 1 nur eine endliche Anzahl von Idealen, nach denen ${\mathfrak {j}}\equiv 0$ ist. Ist $m$ diese Anzahl, so wird jedenfalls das eingeschlagene Verfahren nach $m$-maliger Anwendung abbrechen. Denn es ist ${\mathfrak {j}}\equiv 0$ nach den Idealen ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {pq}}$, ${\mathfrak {pqr}}$, … und diese Ideale sind nach IV sämtlich voneinander verschieden. Nach Beendigung des Verfahrens erhalten wir für das Ideal ${\mathfrak {j}}$ die verlangte Zerlegung:

${\mathfrak {j=pqr\cdots l}}$,

wo ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$, ${\mathfrak {r}}$, …, ${\mathfrak {l}}$ Primideale sind.

Damit ist der Beweis des Satzes von der Zerlegung in Primideale für einen Galoisschen Körper vollständig geführt.

Wir betrachten nun einen beliebigen Körper niederen als $n$-ten Grades, dessen Zahlen sämtlich auch Zahlen des eben behandelten Galoisschen Körpers sind und bezeichnen zur Unterscheidung die Zahlen und Ideale dieses niederen Körpers mit großen Buchstaben. Wir denken uns die Zahlen des Galoisschen Körpers als rationale Funktionen der Wurzel $\vartheta$ einer irreduziblen Gleichung $n$-ten Grades dargestellt und bezeichnen dann die übrigen $n-1$ Wurzeln dieser Gleichung mit $\vartheta '$, $\vartheta ''$, …, $\vartheta ^{(n-1)}$. Diese Wurzeln sind dann rationale Funktionen von $\vartheta$ und die Einsetzung derselben an Stelle von $\vartheta$ bewirkt den Übergang zu den konjugierten Körpern. Es gibt, wie die Galoissche Theorie lehrt, eine gewisse Gruppe $G$ von $v$ Substitutionen: $\vartheta =\vartheta$, $\vartheta =\vartheta '$, …, $\vartheta =\vartheta ^{(v-1)}$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 11. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/28&oldid=- (Version vom 31.7.2018)