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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 3

Ideals ${\mathfrak {a}}$ durch $p^{R}$ teilbar, wo $R$ eine rationale Zahl bedeutet; es müßten dann auch die Zahl $\alpha$ und die zu $\alpha$ konjugierten Zahlen durch $p^{R}$ teilbar sein, und dann wären die Koeffizienten $a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}$ der obigen Gleichung bezüglich durch $p^{R},\,p^{2R},\,\ldots ,\,p^{nR}$ teilbar. Hieraus folgt allgemein $iR\leqq g_{i}$ oder $R\leqq {\tfrac {g_{i}}{i}}$, und da $r_{\alpha }$ selbst eine der Zahlen ${\tfrac {g_{i}}{i}}$ ist, so ergibt sich $R\leqq r_{\alpha }$; d. h. die Zahlen des Ideals ${\mathfrak {a}}$ sind nicht sämtlich durch eine höhere als die $r_{\alpha }$-te Potenz von $p$ teilbar.

Wir beweisen nun für den Galoisschen Körper der Reihe nach die folgenden Sätze:

III. Zu jedem vorgelegten Primideal ${\mathfrak {p}}$ läßt sich stets ein Ideal ${\mathfrak {k}}$ so bestimmen, daß das Produkt ${\mathfrak {pk}}$ ein Hauptideal ist.

Zum Beweise bilde man die $n-1$ zu ${\mathfrak {p}}$ konjugierten Ideale ${\mathfrak {p}}',\,\ldots ,\,{\mathfrak {p}}^{(n-1)}$. Wie man durch Übergang zu den konjugierten Körpern leicht einsieht, sind diese Ideale sämtlich ebenfalls Primideale und allen gehört die nämliche Primzahl $p$ zu. Das Produkt ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {pp}}'\ldots {\mathfrak {p}}^{(n-1)}$ ist offenbar ein ambiges Ideal^[1]. Nach Satz II gibt es eine rationale Zahl $r={\tfrac {t}{u}}$, wo $t$ und $u$ ganze Zahlen sind, von der Beschaffenheit, daß die Zahlen von ${\mathfrak {a}}$ durch $p^{r}$, aber durch keine höhere Potenz von $p$ teilbar sind. Das Ideal ${\mathfrak {a}}^{u}$ wird folglich durch $p^{t}$ teilbar und der Quotient ${\mathfrak {b}}={\tfrac {{\mathfrak {a}}^{u}}{p^{t}}}$ ist offenbar wieder ein ambiges Ideal. Wir nehmen nun an, es sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal, nach welchem ${\mathfrak {b}}\equiv 0$ ist. Da dann auch ${\mathfrak {a}}^{u}\equiv 0$ nach ${\mathfrak {q}}$ ist, so müßte nach Satz 3 entweder ${\mathfrak {p}}\equiv 0$ oder ${\mathfrak {p}}'\equiv 0,\,\ldots ,$ oder ${\mathfrak {p}}^{(n-1)}\equiv 0$ nach ${\mathfrak {q}}$ sein. Es sei etwa ${\mathfrak {p}}^{(m)}\equiv 0$ nach ${\mathfrak {q}}$, so würde, da ${\mathfrak {p}}^{(m)}$ ein Primideal ist, ${\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}^{(m)}$ folgen, d. h. ${\mathfrak {b}}\equiv 0$ nach dem Primideal ${\mathfrak {p}}^{(m)}$ und folglich müßte nach Satz I das Ideal ${\mathfrak {b}}$ durch $p^{\frac {1}{n}}$ teilbar sein, d. h. ${\mathfrak {a}}^{u}$ wäre durch $p^{t+{\frac {1}{n}}}$ und folglich wären die Zahlen von ${\mathfrak {a}}$ sämtlich durch eine höhere als die $r$-te Potenz von $p$ teilbar; dies widerspricht der Wahl des Exponenten $r$. Aus Satz 2 folgt somit ${\mathfrak {b}}=1$, d. h. ${\mathfrak {a}}^{u}=p^{t}$. Setzen wir ${\mathfrak {k}}={\mathfrak {p}}'\ldots {\mathfrak {p}}^{(n-1)}{\mathfrak {a}}^{u-1}$‚ so folgt ${\mathfrak {pk}}=p^{t}$.

IV. Ein ldeal ${\mathfrak {j}}$ kann nur auf eine einzige Weise als Produkt von Primidealen dargestellt werden.

Zum Beweise nehmen wir an, es gebe zwei Zerlegungen des Ideals ${\mathfrak {j}}$ etwa:

${\begin{aligned}{\mathfrak {j=p\color {white}{'}\color {black}q\color {white}{'}\color {black}r\color {white}{'}\color {black}\ldots \color {black}l\color {white}{'}}},\\{\mathfrak {j=p'q'r'\ldots l'}},\end{aligned}}$

wo ${\mathfrak {p,\,q,\,r,\,\ldots ,\,l}}$ und ${\mathfrak {p',\,q',\,r',\,\ldots ,\,l'}}$ Primideale sind. Da wegen der ersten Zerlegung das Ideal ${\mathfrak {j}}\equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}$ ist, so folgt aus der zweiten Zerlegung nach

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1. Bezeichnet man mit ${\mathfrak {p}},\,{\mathfrak {p}}',\,\ldots ,\,{\mathfrak {p}}^{(v-1)}$ die $v$ voneinander verschiedenen unter den $n$ konjugierten Idealen, so ist auch bereits das Produkt dieser $v$ Ideale ein ambiges Ideal und daher gemäß der nachfolgenden Beweisführung gleich einer gebrochenen Potenz von $p$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 10. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/27&oldid=- (Version vom 31.7.2018)