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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.27

Um das Vorzeichen hier zu bestimmen, bedenken wir, daß

${\mathsf {Z}}^{-h}-Z^{+h}=-2i\sin {\frac {2h\pi }{p}}$, $\left(h=1,2,\ldots ,{\frac {p-1}{2}}\right)$

ist, und erhalten hieraus für $\Delta$ einen Wert von der Gestalt $(-i)^{\frac {p-1}{2}}P$, wo $P$ eine positive Größe darstellt. Hieraus folgt, wenn wir fortan unter ${\sqrt {(-1)^{\frac {p-1}{2}}p}}$ denjenigen Wert dieser Quadratwurzel verstehen, welcher positiv reell oder positiv imaginär ist,

$\Delta =(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}{\sqrt {(-1)^{\frac {p-1}{2}}p}}$.

(67)

Endlich lehrt die Gleichung

$\Delta ={\mathsf {Z}}^{-1-2\cdots -{\frac {p-1}{2}}}(1-{\mathsf {Z}}^{2})(1-{\mathsf {Z}}^{4})\cdots (1-{\mathsf {Z}}^{p-1})$,

daß

$\Delta \equiv 2\cdot 4\cdot 6\cdots (p-1)(1-{\mathsf {Z}})^{\frac {p-1}{2}}\equiv 2^{\frac {p-1}{2}}{\frac {p-1}{2}}!(1-{\mathsf {Z}})^{\frac {p-1}{2}}$, $\left((1-{\mathsf {Z}})^{\frac {p+1}{2}}\right)$.

ist, und hieraus folgt nach (66)

$\Delta \equiv 2^{\frac {p-1}{2}}\Lambda$, $\left((1-{\mathsf {Z}})^{\frac {p+1}{2}}\right)$.

Da

$2^{\frac {p-1}{2}}\equiv \left({\frac {2}{p}}\right)\equiv (-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}$, $(p)$

wird, so ergibt sich wegen (67)

$\Lambda \equiv {\sqrt {(-1)^{\frac {p-1}{2}}p}}$, $\left((1-{\mathsf {Z}})^{\frac {p+1}{2}}\right)$,

und folglich ist wegen (65)

$\Lambda ={\sqrt {(-1)^{\frac {p-1}{2}}p}}$,

womit der Satz 146 bewiesen ist.

Über spezielle Abelsche Körper von höherem als dem zweiten Grade ist bisher wenig veröffentlicht worden; erwähnt seien die Eisensteinsche Abhandlung über kubische, aus der Kreisteilung entstehende Formen, welche als eine Einleitung in die Theorie der kubischen Abelschen Körper aufzufassen ist [Eisenstein (10^[1])], ferner die Bachmannsche Arbeit über die aus zwei Quadratwurzeln zusammengesetzten komplexen Zahlen [Bachmann (1^[2])], und die Weberschen Untersuchungen über Abelsche kubische und biquadratische Zahlkörper [Weber (2^[3], 4^[4])].

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1. Allgemeine Untersuchungen über die Formen dritten Grades mit drei Variabeln, welche der Kreisteilung ihre Entstehung verdanken. J. Math. 28 u. 29 (1844), (1845).^{[WS 1]}
2. Zur Theorie der komplexen Zahlen. J. Math. 67 (1867).^{[WS 2]}
3. Über Abelsche Zahlkörper dritten und vierten Grades. Sitzungsber. Ges. Naturwiss. Marburg 1892.
4. Lehrbuch der Algebra. 2. Braunschweig 1896.^{[WS 3]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Eisenstein, Gotthold: Allgemeine Untersuchungen über die Formen dritten Grades mit drei Variabeln, welche der Kreistheilung ihre Entstehung verdanken, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 28 (1844), S. 289–374 GDZ Göttingen und Band 29 (1845), S. 19–53 GDZ Göttingen
2. Bachmann, Paul: Zur Theorie der complexen Zahlen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 67 (1867), S. 200–204 GDZ Göttingen
3. Weber, Heinrich: Lehrbuch der Algebra, Band 2 (1896) Internet Archive

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 248. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/265&oldid=- (Version vom 4.9.2016)