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und die Lagrangesche Wurzelzahl hat für ihn den Wert

dabei durchlaufen und bez. die quadratischen Reste und Nichtreste nach unter den Zahlen , , …, .

Das am Schlusse des § 112 charakterisierte Problem der vollständigen Ermittlung von , nachdem gefunden ist, kommt in dem vorliegenden Falle des quadratischen Körpers auf die Frage nach einem gewissen Vorzeichen hinaus und wird durch folgenden Satz erledigt:

Satz 146. Die Lagrangesche Wurzelzahl des quadratischen Körpers mit der Primzahldiskriminante ist eine positiv reelle oder positiv rein imaginäre Zahl [Gauss (2[1]), Kronecker (4[2])].

Beweis. Das Quadrat der in Frage stehenden Lagrangeschen Wurzelzahl besitzt, weil eine Zahl des quadratischen Körpers und nach Satz 138

ist, jedenfalls den Wert ; man hat also

. (65)

An die Stelle der in § 112 mit , bezeichneten Ideale treten im vorliegenden Falle bez. die Ideale () und ; aus der Kongruenz (43) wird daher die Kongruenz

, ,

d. i.

, , (66)

Wir betrachten andererseits den Ausdruck

.

Da derselbe nur sein Vorzeichen ändert, wenn wir durch ersetzen, wobei eine Primitivzahl nach bedeuten soll, und da das Ideal () mit dem Ideal übereinstimmt, so ist notwendig

.

  1. [358] Summatio quarundam serierum singularium. Werke 2, 11.
  2. [358] Sur une formule de Gauss. J. de Math. 1856.

Anmerkungen (Wikisource)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 247. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/264&oldid=- (Version vom 22.8.2016)