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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.27

und die Lagrangesche Wurzelzahl hat für ihn den Wert

$\Lambda =\lambda _{0}-\lambda _{1}=\sum _{(a)}{\mathsf {Z}}^{a}-\sum _{(b)}{\mathsf {Z}}^{b};$

dabei durchlaufen $a$ und $b$ bez. die quadratischen Reste und Nichtreste nach $p$ unter den Zahlen $1$, $2$, …, $p-1$.

Das am Schlusse des § 112 charakterisierte Problem der vollständigen Ermittlung von $\Lambda$, nachdem $\Lambda ^{l}$ gefunden ist, kommt in dem vorliegenden Falle des quadratischen Körpers auf die Frage nach einem gewissen Vorzeichen $\pm$ hinaus und wird durch folgenden Satz erledigt:

Satz 146. Die Lagrangesche Wurzelzahl $\Lambda$ des quadratischen Körpers mit der Primzahldiskriminante $(-1)^{\frac {p-1}{2}}p$ ist eine positiv reelle oder positiv rein imaginäre Zahl [Gauss (2^[1]), Kronecker (4^[2])].

Beweis. Das Quadrat der in Frage stehenden Lagrangeschen Wurzelzahl $\Lambda$ besitzt, weil $\Lambda$ eine Zahl des quadratischen Körpers und nach Satz 138

$\left|\Lambda \right|=\left|{\sqrt {p}}\right|$

ist, jedenfalls den Wert $(-1)^{\frac {p-1}{2}}p$; man hat also

$\Lambda =\pm {\sqrt {(-1)^{\frac {p-1}{2}}p}}$.

(65)

An die Stelle der in § 112 mit ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {P}}$ bezeichneten Ideale treten im vorliegenden Falle $l=2$ bez. die Ideale ($p$) und $(1-{\mathsf {Z}})$; aus der Kongruenz (43) wird daher die Kongruenz

$\Lambda \equiv {\frac {(-1)^{\frac {p+1}{2}}}{{\frac {p-1}{2}}!}}(1-{\mathsf {Z}})^{\frac {p-1}{2}}$, $\left((1-{\mathsf {Z}})^{\frac {p+1}{2}}\right)$,

d. i.

$\Lambda \equiv {\frac {p-1}{2}}!(1-{\mathsf {Z}})^{\frac {p-1}{2}}$, $\left((1-{\mathsf {Z}})^{\frac {p+1}{2}}\right)$,

(66)

Wir betrachten andererseits den Ausdruck

$\Delta =({\mathsf {Z}}^{-1}-{\mathsf {Z}}^{+1})({\mathsf {Z}}^{-2}-{\mathsf {Z}}^{+2})\ldots ({\mathsf {Z}}^{-{\frac {p-1}{2}}}-{\mathsf {Z}}^{+{\frac {p-1}{2}}})$.

Da derselbe nur sein Vorzeichen ändert, wenn wir ${\mathsf {Z}}$ durch ${\mathsf {Z}}^{R}$ ersetzen, wobei $R$ eine Primitivzahl nach $p$ bedeuten soll, und da das Ideal ($\Delta$) mit dem Ideal $(1-{\mathsf {Z}})^{\frac {p-1}{2}}$ übereinstimmt, so ist notwendig

$\Delta =\pm {\sqrt {(-1)^{\frac {p-1}{2}}p}}$.

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1. Summatio quarundam serierum singularium. Werke 2, 11.
2. Sur une formule de Gauss. J. de Math. 1856.

Anmerkungen (Wikisource)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 247. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/264&oldid=- (Version vom 22.8.2016)