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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.27

Wenn wir die Gleichung (62) in die $(1+s^{2}+s^{4}+\cdots +s^{l-3})$-te symbolische Potenz erheben, so folgt

${\mathfrak {p}}^{q_{0}+q_{-2}+q_{-4}+\cdots +q_{-l+3}}{\mathfrak {p}}^{\prime q_{-1}+q_{-3}+q_{-5}+\cdots +q_{-l+2}}=(\alpha )$,

wo $\alpha$ eine Zahl in $\textstyle k\left({\sqrt {-l}}\right)$ bedeutet. Wegen

$q_{-1}+q_{-3}+\cdots +q_{-l+2}-q_{0}-q_{-2}-\cdots -q_{-l+3}=(r+1){\frac {\Sigma b-\Sigma a}{l}}$

folgt, wenn wir die Äquivalenz $pp'\sim 1$ berücksichtigen,

${\mathfrak {p}}^{(r+1){\frac {\Sigma b-\Sigma a}{l}}}\sim 1$.

(63)

Andererseits kann man nach Satz 135

${\mathfrak {p}}^{r_{0}+r_{-1}s+r_{-2}s^{2}+\cdots +r_{-l+2}s^{l-2}}=({\mathsf {B}})$

setzen, derart, daß ${\mathsf {B}}$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$ bedeutet. Wenn wir diese Gleichung in die $(1+s^{2}+s^{4}+\cdots +s^{l-3})$-te symbolische Potenz erheben, so folgt

${\mathfrak {p}}^{\Sigma b-\Sigma a}={\mathfrak {p}}^{l{\frac {\Sigma b-\Sigma a}{l}}}\sim 1$.

(64)

Da die Zahl $r+1$ nicht durch $l$ teilbar ist, wenn wir von dem Falle $l=3$ absehen, der für sich ohne weiteres klar liegt, so folgt aus den beiden Äquivalenzen (63) und (64) die im ersten Teile des Satzes 145 behauptete Äquivalenz.

Der zweite Teil des Satzes 145 folgt durch eingehendere Betrachtung der in § 112 entwickelten Kongruenzeigenschaften (43), (44) der Lagrangeschen Wurzelzahl $\Lambda$.

Ein wesentlich verschiedener Beweis für den ersten Teil des Satzes 145 ergibt sich unmittelbar aus einer gegen den Schluß des § 86 gemachten Bemerkung über den Ausdruck der Klassenanzahl des Körpers $k({\sqrt {-l}})$ für den Fall $l\equiv 3$ nach $4$.

Durch eine bemerkenswerte Modifikation des Jacobischen Verfahrens gelingt es, die Aussagen des Satzes 145 auch auf den Fall zu erweitern, daß die Primzahl $p$ nicht von der Gestalt $p=ml+1$ ist [Eisenstein (11^[1]), Stickelberger (1^[2])].

§ 124. Die Bestimmung des Vorzeichens der Gaußschen Summe.

Es sei $p$ eine ungerade rationale Primzahl, so können wir nach den Definitionen des § 111 und der in § 112 hinzugefügten Ausdehnung derselben auf den Fall $l=2$ die Lagrangesche Normalbasis und die Lagrangesche Wurzelzahl für den quadratischen Körper $k\left({\sqrt {(-1)^{{\frac {p-1}{2}}p}}}\right)$ aufstellen. Es werde ${\mathsf {Z}}=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{p}}$ gesetzt, so besteht für diesen Körper die Lagrangesche Normalbasis aus den zwei Zahlen

$\lambda _{0}=\sum \limits _{(a)}{\mathsf {Z}}^{a}$, $\lambda _{1}=\sum \limits _{(b)}{\mathsf {Z}}^{b}$,

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1. Zur Theorie der quadratischen Zerfällung der Primzahlen $8n+3,\ 7n+2$ und $7n+4$. J. Math. 37 (1848).^{[WS 1]}
2. Über eine Verallgemeinerung der Kreisteilung. Math. Ann. 37 (1890).

Anmerkungen (Wikisource)

1. Eisenstein, Gotthold: Zur Theorie der quadratischen Zerfällung der Primzahlen 8n + 3, 7n + 2 und 7n + 4, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 37 (1849), S. 97–126 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 246. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/263&oldid=- (Version vom 22.8.2016)