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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.27

Setzen wir in (57) $p=2$, so folgt

$\left({\frac {2}{l}}\right)=\left({\frac {(-1)^{\frac {l-1}{2}}l}{2}}\right)=(-1)^{\frac {l^{2}-1}{8}}$.

(61)

Die Formeln (60), (59) und (61) enthalten das Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste nebst den zugehörigen Ergänzungssätzen.

§ 123. Der imaginäre quadratische Körper mit einer Primzahldiskriminante.

Satz 145. Wenn $l$ eine rationale Primzahl mit der Kongruenzeigenschaft $l\equiv 3$ nach $4$ ist und $p$ eine rationale Primzahl von der Gestalt $p=ml+1$ bedeutet, so gilt für ein jedes in $p$ aufgehende Primideal ${\mathfrak {p}}$ des imaginären quadratischen Körpers $k({\sqrt {-l}})$ die Äquivalenz

${\mathfrak {p}}^{\frac {\Sigma b-\Sigma a}{l}}\sim 1$,

wo $\Sigma a$ die Summe der kleinsten positiven quadratischen Reste und $\Sigma b$ die Summe der kleinsten positiven quadratischen Nichtreste nach $l$ bedeutet.

Setzt man ferner $p={\mathfrak {pp}}'$ und

${\mathfrak {p}}^{\frac {\Sigma b-\Sigma a}{l}}=(\pi )$,

wobei $\pi$ eine ganze Zahl des imaginären quadratischen Körpers $k\left({\sqrt {-l}}\right)$ bedeutet, so gilt die Kongruenz

$\pi \equiv \pm {\frac {1}{\prod \limits _{(a)}(am)!}}$, $({\mathfrak {p}})'$,

wo das im Nenner stehende Produkt über alle kleinsten positiven quadratischen Reste $a$ nach $l$ zu erstrecken ist [Jacobi (1^[1], 2^[2], 3^[3], 4^[4]), Cauchy (1^[5]), Eisenstein (4^[6])].

Beweis. Nach Satz 136 kann man, wenn ${\mathfrak {P}}$ ein Primideal ersten Grades in $k(\zeta )$ bedeutet, unter Benutzung der dort erklärten Bezeichnungen

${\mathfrak {P}}^{q_{0}+q_{-1}s+q_{-2}s^{2}+\cdots +q_{-l+2}s^{l-2}}=({\mathsf {A}})$

(62)

setzen derart, daß ${\mathsf {A}}$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$ ist. Ist dann $p=ml+1$ die durch ${\mathfrak {P}}$ teilbare rationale Primzahl und $p={\mathfrak {pp}}'$ die Zerlegung dieser Primzahl in dem in $k(\zeta )$ enthaltenen quadratischen Unterkörper $k({\sqrt {-l}})$, so gehen andererseits diese zwei Primideale ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {p}}'$ des Körpers $k({\sqrt {-l}})$ in der Gestalt hervor:

${\begin{aligned}{\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{1+s^{2}+s^{4}+\cdots +s^{l-3}}\\{\mathfrak {p}}'=s{\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{s(1+s^{2}+s^{4}+\cdots +s^{l-3})}\end{aligned}}$.

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1. De residuis cubicis oommentatio numerosa. Werke 6, 233 (1827)
2. Observatio arithmetica de numero classium divisorum quadraticorum formae $y^{2}+Az^{2}$ designante $A$ numerum primum formae $4n+3$. Werke 6, 240 (1832)
3. Über die Kreisteilung und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie. Werke 6, 254 (1837)
4. Über die komplexen Primzahlen, welche in der Theorie der Reste der 5ten, 8ten und 12ten Potenzen zu betrachten sind. Werke 6, 275 (1839)
5. Mémoire sur la théorie des nombres. Comptes Rendus 1840
6. Beiträge zur Kreisteilung. J. Math. 27 (1844).^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Eisenstein, Gotthold: Beiträge zur Kreistheilung, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 27 (1844), S. 269–278 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 245. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/262&oldid=- (Version vom 22.8.2016)