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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.27

Beweise des Reziprozitätsgesetzes für quadratische Reste [Kronecker (15^[1])]. Wir verfahren dabei, wie folgt:

Ist $f$ der kleinste positive Exponent, für welchen $p^{f}\equiv 1$ nach $l$ ausfällt, und wird $\textstyle e={\frac {l-1}{f}}$ gesetzt, so zerlegt sich nach Satz 119 die Primzahl $p$ im Körper $k(\zeta )$ in $e$ Primideale ${\mathfrak {P}}$, $s{\mathfrak {P}}$, …, $s^{e-1}{\mathfrak {P}}$, und es ist der gemeinsame Zerlegungskörper $k_{z}$ dieser Primideale nach Satz 129 vom Grade $e$. Die rationale Primzahl $p$ ist alsdann offenbar in dem quadratischen Körper $k^{*}$ zerlegbar oder nicht zerlegbar, je nachdem der Körper $k^{*}$ in $k_{z}$ als Unterkörper enthalten ist oder nicht. Bedenken wir, daß der Körper $k(\zeta )$ nur den einen quadratischen Unterkörper $k^{*}$ enthält, und ferner, daß ein Abelscher Körper dann und nur dann überhaupt einen quadratischen Unterkörper besitzt, wenn sein Grad gerade ist, so folgt, daß $k^{*}$ dann und nur dann in $k_{z}$ enthalten ist, wenn die Zahl $e$ gerade ausfällt. Andererseits ist nach Satz 97 die Primzahl $p$ in $k^{*}$ zerlegbar oder nicht zerlegbar, je nachdem $\textstyle \left({\frac {(-1)^{\frac {l-1}{2}}l}{p}}\right)=+1$ oder $=-1$ ist. Ist nun $e$ gerade, so folgt $p^{\frac {l-1}{2}}=p^{f\cdot {\frac {e}{2}}}\equiv 1$ nach $l$, d. h. $\textstyle \left({\frac {p}{l}}\right)=+1$; im anderen Falle wird $\textstyle p^{\frac {l-1}{2}}=p^{{\frac {f}{2}}\cdot e}\equiv (-1)^{e}\equiv -1$ nach $l$, d. h. $\textstyle \left({\frac {p}{l}}\right)=-1$. Es ist mithin in jedem Falle

$\left({\frac {p}{l}}\right)=\left({\frac {(-1)^{\frac {l-1}{2}}l}{p}}\right)$.

(57)

Wir nehmen zunächst $p$ ungerade an; aus (57) folgt

$\left({\frac {l}{p}}\right)\left({\frac {p}{l}}\right)=\left({\frac {(-1)^{\frac {l-1}{2}}}{p}}\right)$.

(58)

und weiter, wenn wir $p$ und $l$ miteinander vertauschen,

$\left({\frac {(-1)^{\frac {l-1}{2}}}{p}}\right)=\left({\frac {(-1)^{\frac {p-1}{2}}}{l}}\right)$.

Die letztere Formel ergibt, wenn wir $l=3$ nehmen,

$\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}$.

(59)

Die Verbindung der Gleichung (59) mit (58) liefert

$\left({\frac {l}{p}}\right)\left({\frac {p}{l}}\right)=(-1)^{{\frac {l-1}{2}}\cdot {\frac {p-1}{2}}}$.

(60)

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1. Über die Potenzreste gewisser komplexer Zahlen. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1880.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kronecker, Leopold: Über die Potenzreste gewisser complexer Zahlen, in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1880, S. 404–407 Berlin-Brandenburgische Akademie

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 244. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/261&oldid=- (Version vom 22.8.2016)