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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.26

Vielfache der Zahlen ${\bar {f}}$, $f^{*}$, $f_{1}$, $f_{2}$, … bezeichnet und zur Abkürzung

$E={\frac {{\bar {e}}e^{*}e_{1}e_{2}\ldots {\bar {f}}f^{*}f_{1}f_{2}\ldots }{F}}$

gesetzt wird,

$\prod _{(u,\,u^{*};\,u_{1},\,u_{2},\,\ldots )}\left\{1-\left[\overbrace {u,\,u^{*};\,u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{p}\right]p^{-s}\right\}=\{1-p^{-sF}\}^{E}$,

(54)

wo das Produkt sich über alle in (53) bezeichneten Wertverbindungen $u$, $u^{*}$; $u_{1}$, $u_{2}$, … erstreckt. Man sieht sofort, daß $F$ der kleinste positive Exponent mit der Kongruenzeigenschaft $p^{F}\equiv 1$ nach $m$ ist. Da ferner $FE=\Phi (m)$ ist, so folgt aus (54) mit Rücksicht auf den Satz 125 die im Hilfssatz 22 aufgestellte Formel. Mit Hilfe der zweiten Aussage in Satz 125 erkennt man dann leicht die Gültigkeit dieser Formel auch in dem Falle, daß $p$ eine in $m$ enthaltene Primzahl ist.

Die Richtigkeit des ersten in Satz 141 aufgestellten Ausdruckes für $H$ erkennen wir nun unmittelbar auf Grund des Satzes 56, wenn wir die zweite in § 27 gegebene Darstellung von $\zeta (s)$ und den eben bewiesenen Hilfssatz 22 anwenden.

Zur Ableitung des zweiten Ausdruckes für $H$ formen wir zunächst das im ersten Ausdrucke hinter dem Limes-Zeichen stehende Produkt in eine unendliche Summe, wie folgt, um:

$\prod _{(p)}{\frac {1}{1-\left[\overbrace {u,\,u^{*};\,u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{p}\right]p^{-s}}}=\sum _{(n=1,\,2,\,3,\,\ldots )}\left[\overbrace {u,\,u^{*};\,u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{n}\right]{\frac {1}{n^{s}}}$

Die weitere Behandlung der rechts stehenden Summe geschieht dann am einfachsten, indem wir in derselben

${\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }e^{-nt}t^{s-1}dt$

einsetzen und dann in entsprechender Weise verfahren wie in § 86.

§ 119. Das Vorhandensein von unendlich vielen rationalen Primzahlen, welche nach einer gegebenen Zahl einen vorgeschriebenen, zu ihr primen Rest lassen.

Jeder der zwei in § 117 aufgestellten und soeben bewiesenen Ausdrücke für die Klassenanzahl $H$ des Kreiskörpers der $m$-ten Einheitswurzeln gestattet eine wichtige Folgerung. Der erstere Ausdruck nämlich kann zum, Nachweis der folgenden Tatsache dienen:

Satz 143. Bedeuten $m$ und $n$ zwei zueinander prime ganze rationale Zahlen so gibt es stets unendlich viele rationale Primzahlen $p$ mit der Kongruenzeigenschaft $p\equiv n$ nach $m$. [Dirichlet (5^[1], 6^[2]), Dedekind (2^[3])].

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1. Beweis eines Satzes über die arithmetische Progression. Werke 1, 307 (1837).
2. Beweis des Satzes, daß jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Faktor sind, unendlich viele Primzahlen enthält. Werke 1, 313 (1837).
3. Sur la théorie des nombres entiers algébriques. Paris 1877. Abdruck aus Bull. des sciences math. et astron. s. 1 t. XI und s. 2 t. I.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dedekind, Richard: Sur la théorie des nombres entiers algébriques., in: Bulletin des Sciences Mathématiques et Astronomiques 2^e série Band 1, Folge 1 1877, S. 69-92. EuDML

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 240. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/257&oldid=- (Version vom 8.8.2016)