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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.26

Formel und sind also der erste und der zweite Faktor der Klassenanzahl in dem früheren Sinne; im gegenwärtigen Falle sind beide Faktoren der Klassenanzahl für sich ganze rationale Zahlen. Der zweite Faktor stellt die Klassenanzahl des in $k(\zeta )$ enthaltenen reellen Unterkörpers vom ${\frac {l-1}{2}}$-ten Grade dar. Kummer hat über diese zwei Faktoren noch weitere Sätze aufgestellt, welche ihre Teilbarkeit durch $2$ betreffen [Kummer (25^[1])]. Der Versuch Kroneckers, diese Sätze rein arithmetisch zu beweisen, weist einen Irrtum auf, und die von Kronecker gegebene Verallgemeinerung ist nicht richtig [Kronecker (11^[2])]. Außerdem hat Kummer noch nach einer anderen Richtung hin Untersuchungen über die Bedeutung und die Eigenschaften dieser zwei Faktoren angestellt [Kummer (13^[3])]. Man vergleiche ferner Kap. 36. Endlich hat Kummer den Satz behauptet, daß die Klassenanzahl eines jeden in $k(\zeta )$ enthaltenen Unterkörpers in der Klassenanzahl $h$ des Körpers $k(\zeta )$ aufgeht. Der von ihm versuchte Beweis hierfür ist jedoch nicht stichhaltig [Kummer (7^[4])].

§ 118. Die Ableitung der aufgestellten Ausdrücke für die Klassenanzahl des Kreiskörpers $k\left(\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{m}}\right)$.

Um den Satz 141 zu beweisen, fassen wir sogleich den kompliziertesten Fall ins Auge, in welchem $m$ durch $8$ teilbar ist, und stellen den folgenden Hilfssatz auf:

Hilfssatz 22. Ist $p$ eine beliebige rationale Primzahl und $m$ eine durch $8$ teilbare Zahl, so gilt unter Anwendung der in Satz 141 erklärten Bezeichnungen für reelle Werte $s>1$ die Formel:

$\prod _{({\mathfrak {P}})}\{1-n({\mathfrak {P}})^{-s}\}=\prod _{(u,\,u^{*};\,u_{1},\,u_{2},\,\ldots )}\left\{1-\left[\overbrace {u,\,u^{*};\,u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{p}\right]p^{-s}\right\}$,

wo das Produkt linker Hand über alle verschiedenen Primideale ${\mathfrak {P}}$ des Kreiskörpers $k\left(\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{m}}\right)$ zu erstrecken ist, welche in der Primzahl $p$ enthalten sind, und wo das Produkt rechter Hand über alle in (53) angegebenen Wertsysteme $u,\,u^{*};\,u_{1},\,u_{2},\,\ldots$ (das System $u=0,\,u^{*}=0;\,u_{1}=0,\,u_{2}=0,\,\ldots$ einbegriffen) genommen werden soll.

Beweis. Es sei zunächst $p$ eine in $m$ nicht aufgehende Primzahl; es sei $l$ eine der ungeraden Primzahlen $l_{1}$, $l_{2}$, … und $l^{h}$ die Potenz, zu der sie in $m$ aufgeht, ferner $r$ eine Primitivzahl nach $l^{h}$ und $p\equiv r^{p'}$ nach $l^{h}$. Bedeutet $e$ den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen $p'$ und $l^{h-1}(l-1)$ und wird $l^{h-1}(l-1)=ef$ gesetzt, so ist das Symbol $\textstyle \left[{\frac {p}{l^{h}}}\right]$ offenbar genau eine $f$-te und nicht eine niedere Einheitswurzel.

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1. Über eine Eigenschaft der Einheiten der aus den Wurzeln der Gleichung $\alpha ^{\lambda }=1$ gebildeten komplexen Zahlen und über den zweiten Faktor der Klassenzahl. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1870.^{[WS 1]}
2. Auseinandersetzung einiger Eigenschaften der Klassenanzahl idealer komplexer Zahlen. Werke 1, 271 (1870).
3. Über die Irregularität der Determinanten. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1853.^{[WS 2]}
4. Bestimmung der Anzahl nicht äquivalenter Klassen für die aus $\lambda$-ten Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen und die idealen Faktoren derselben. J. Math. 40 (1850).^{[WS 3]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Über eine Eigenschaft der Einheiten der aus den Wurzeln der Gleichung $\alpha ^{\lambda }=1$ gebildeten complexen Zahlen und über den zweiten Faktor der Klassenzahl, in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1870, S. 855–880 Berlin-Brandenburgische Akademie
2. Kummer, Ernst Eduard: Über die Irregularität der Determinanten, in: Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie, 1853, S. 194–200 Berlin-Brandenburgische Akademie
3. Kummer, Ernst Eduard: Bestimmung der Anzahl nicht äquivalenter Classen für die aus $\lambda$-ten Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen und die idealen Factoren derselben, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 40 (1850), S. 93–116 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 238. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/255&oldid=- (Version vom 31.7.2016)