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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.26

Der erste Ausdruck für $H$ lautet:

$H={\frac {1}{\varkappa }}\prod _{(u_{1},\,u_{2},\,\ldots )}{\underset {s=1}{L}}\prod _{(p)}{\frac {1}{1-\left[\overbrace {u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{p}\right]p^{-s}}}$

bez. entsteht aus dieser Formel, indem man $u_{1}$, $u_{2}$, … durch $u$; $u_{1}$, $u_{2}$, …, bez. $u$, $u^{*}$; $u_{1}$, $u_{2}$, … ersetzt. Hierin ist dann das äußere Produkt $\Pi$ über die Zahlen

$\left.{\begin{aligned}u_{1}&=0,\,1,\,\ldots ,\,l_{1}^{h_{1}-1}(l_{1}-1)-1,\\u_{2}&=0,\,1,\,\ldots ,\,l_{2}^{h_{2}-1}(l_{2}-1)-1,\\&\;\,\vdots \\{\text{ferner über}}\qquad \qquad &\\u&=0,\,1\\{\text{und über}}\qquad \qquad &\\u^{*}&=0,\,1,\,\ldots ,\,2^{h^{*}-2}-1\end{aligned}}\right\}$

(53)

zu erstrecken mit Ausschluß der einen Wertverbindung $u_{1}=0$, $u_{2}=0$, …, bez. $u=0$; $u_{1}=0$, $u_{2}=0$, …, bez. $u=0$, $u^{*}=0$; $u_{1}=0$, $u_{2}=0$, …; es besteht daher nur aus einer endlichen Anzahl von Faktoren. Jedes einzelne innere Produkt $\textstyle \prod \limits _{(p)}$ soll über alle rationalen Primzahlen $p$ erstreckt werden und ist mithin ein unendliches Produkt. Die Größe $\varkappa$ ist die dem Körper $k$ zugehörende Zahl des Satzes 56 (s. S. 115 vor § 26).

Der zweite Ausdruck für $H$ ist ein Produkt aus zwei in Bruchform erscheinenden Faktoren und lautet:

$H={\frac {\displaystyle \prod _{(u_{1},\,u_{2},\,\ldots )}\sum _{(n)}\left[\overbrace {u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{n}\right]n}{(2m)^{{\tfrac {1}{2}}\Phi (m)-1}}}\cdot {\frac {\displaystyle \prod _{(u_{1},\,u_{2},\,\ldots )}\sum _{(n)}\left[\overbrace {u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{n}\right]\log {\mathsf {A}}_{n}}{R}}2^{{\tfrac {1}{2}}\Phi (m)-1}$

bez. entsteht aus dieser Formel, indem man zum ersten Bruch rechts den Faktor ${\tfrac {1}{2}}$ hinzufügt und dann $u_{1}$, $u_{2}$, … durch $u$; $u_{1}$, $u_{2}$, … bez. $u$, $u^{*}$; $u_{1}$, $u_{2}$, … ersetzt. Hierin soll das Produkt $\textstyle \prod$ im Zähler des ersten Bruches über alle diejenigen in (53) angegebenen Werte erstreckt werden, für welche im ersten Falle $u_{1}+u_{2}\cdots$ bez. in den zwei anderen Fällen $u+u_{1}+u_{2}+\cdots$ eine ungerade Zahl ist, während das Produkt $\textstyle \prod$ im Zähler des zweiten Bruches über alle diejenigen in (53) angegebenen Werte zu erstrecken ist, für welche im ersten Falle $u_{1}+u_{2}+\cdots$ bez. in den zwei anderen Fällen $u+u_{1}+u_{2}+\cdots$ eine gerade Zahl ist, mit Ausschluß immer der einen Wertverbindung $u_{1}=0$, $u_{2}=0$, …, bez. $u=0;$ $u_{1}=0$, $u_{2}=0$, … bez. $u=0$, $u^{*}=0$; $u_{1}=0$, $u_{2}=0$, …. Weiter ist jede einzelne Summe $\textstyle \sum \limits _{(n)}$ in dem ersten Bruche über alle ganzen rationalen positiven Zahlen $n=1$, $2$, …, $m-1$, jede einzelne Summe $\textstyle \sum \limits _{(n)}$ in dem zweiten Bruche dagegen nur über alle diejenigen unter diesen Zahlen zu erstrecken, welche $<{\frac {m}{2}}$ sind.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 236. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/253&oldid=- (Version vom 10.7.2016)