Bedeutet endlich
eine gerade Zahl, so setzen wir
, ,
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Sind
,
irgend zwei ganze rationale Zahlen, so gelten dann, wie man sieht, die Gleichungen
,
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Durch diese Festsetzungen ist das Symbol
vollständig für den Fall definiert, daß
eine beliebige ganze rationale Zahl und
eine höhere Potenz von
als die erste oder eine Potenz einer ungeraden Primzahl bedeutet, wobei im letzteren Falle irgendeine Primitivzahl
nach
von vornherein zugrunde zu legen ist.
Sind
,
, … irgendwelche fest gegebene Potenzen verschiedener ungerader Primzahlen und
eine Potenz von
, die größer als
ist, so setzen wir zur Abkürzung
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,
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ferner
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,
|
ferner
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;
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darin soll
eine beliebige ganze rationale Zahl, und die Exponenten
,
;
,
, … sollen ganze rationale, nicht negative Zahlen vorstellen. Endlich setzen wir fest, daß das Zeichen
stets den Wert
bedeuten soll, auch wenn
ist.
§ 117.
Die Ausdrücke für die Klassenanzahl im Kreiskörper der
–ten Einheitswurzeln.
Es gilt der folgende Satz, dessen Beweis in § 118 gegeben werden wird:
Satz 141. Es sei
eine ganze rationale positive Zahl von der Gestalt
, oder
, oder
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( , , , …),
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wo
,
, … voneinander verschiedene ungerade Primzahlen bedeuten. Es seien ferner
,
, … Primitivzahlen bez. nach
,
, … und mit ihrer Hilfe die betreffenden Symbole definiert. Dann kann die Klassenanzahl
des Kreiskörpers
der
-ten Einheitswurzeln auf folgende zwei Weisen ausgedrückt werden: