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Produkt nicht durch teilbar ist, so ergibt sich hieraus

.

Wird endlich auch die ganze rationale durch nicht teilbare Zahl beliebig angenommen, nur so, daß zu prim ist, und wird gesetzt, wo , rationale Primzahlen bedeuten, so folgt durch Multiplikation der Gleichungen

die Richtigkeit des Satzes 140 im allgemeinsten Falle.

26. Die Bestimmung der Anzahl der Idealklassen im Kreiskörper der -ten Einheitswurzeln.

§ 116. Das Symbol

Um die in § 26 dargelegte transzendente Methode zur Bestimmung der Klassenanzahl eines Körpers auf den Fall des Kreiskörpers , wo irgendeine ganze rationale Zahl bedeutet, anzuwenden, definieren wir zunächst die folgenden Symbole:

Es sei eine Potenz einer ungeraden Primzahl mit positivem Exponenten und eine Primitivzahl nach . Ist dann eine nicht durch teilbare ganze rationale Zahl und dazu ein solcher Exponent, daß die Kongruenz

gilt, so definieren wir

.

Ferner setzen wir

,

sobald durch teilbar ist. Sind , zwei beliebige ganze rationale Zahlen, so wird dann offenbar

.

Des weiteren setzen wir, wenn eine ungerade Zahl bedeutet, zunächst

;

ferner für ein , wenn eine solche ganze rationale Zahl zu ist, daß die Kongruenz

gilt,

.
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 234. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/251&oldid=- (Version vom 31.7.2018)