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Wenn alle Zahlen eines Ideals kongruent nach sind, so heißt das Ideal kongruent nach oder in Zeichen

Offenbar ist jedes Ideal kongruent nach dem Ideal und nach dem Ideal selbst.

Ein von verschiedenes Ideal , welches nach keinem anderen Ideal außer nach und nach sich selbst ist, heißt Primideal.

Wenn man jede Zahl eines Ideals mit jeder Zahl eines zweiten Ideals multipliziert und die so erhaltenen Zahlen linear mittels beliebiger ganzer algebraischer Koeffizienten kombiniert, so wird das so entstehende neue Ideal das Produkt jener beiden Ideale genannt, d. h. in Zeichen

Ein Ideal heißt durch das Ideal teilbar, wenn ein Ideal existiert, derart, daß ist. Ist durch teilbar, so ist nach dem Ideal .

1. Ein Ideal kann nur nach einer endlichen Anzahl von Idealen sein.

Zum Beweise bilde man die Norm einer beliebigen Zahl des Ideals ; ist dann etwa ein Ideal, nach welchem ist, so muß offenbar auch nach sein. Die Basiszahlen von seien von der Gestalt

wo , …, eine Basis der ganzen Zahlen des Körpers und wo , , …, ganze rationale Zahlen sind. Bedeuten , , …, bezüglich die kleinsten positiven Reste der Zahlen , , …, nach dem Modul , so wird

und diese Darstellung des Ideals läßt unmittelbar die Richtigkeit der Behauptung erkennen.

2. Ein jedes von verschiedene Ideal ist nach mindestens einem Primideal .

Denn falls nicht schon selbst ein Primideal ist, so gibt es ein von und von verschiedenes Ideal , nach welchem ist. Es sei ferner ein von und von verschiedenes Ideal, nach welchem ist; ein von und verschiedenes Ideal, nach welchem ist usw. In der Reihe , , , , … ist jedes Ideal nach allen folgenden Idealen. Überdies sind sämtliche Ideale dieser Reihe untereinander verschieden. Denn die Annahme , hätte nach und mithin auch nach zur Folge; da jedoch auch nach ist, so wäre notwendig und dieser Umstand widerspricht