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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.23

geben, bei welcher der zweite Index $n\equiv r$ nach $l^{h}$ ist. Wir setzen eine solche Substitution $S_{mr}=s$. Der Grad der aus $s$ erzeugten zyklischen Gruppe ist $l^{h}$. Es kann ferner leicht erkannt werden, daß alle diejenigen Substitutionen der Gruppe $G$, bei denen der zweite Index $\equiv 0$ nach $l^{h}$ ausfällt, für sich eine zyklische Untergruppe vom Grade $l^{h-h^{\ast }}$ bilden. Es sei $s^{\ast }=S_{m^{\ast }0}$ eine erzeugende Substitution dieser zyklischen Gruppe. Die Gruppe $G$ entsteht dann offenbar durch Zusammensetzung aus den $l^{h}$ Potenzen von $s$ und den $l^{h-h^{\ast }}$ Potenzen von $s^{\ast }$. Zu der aus den Potenzen von $s^{\ast }$ bestehenden Untergruppe gehört offenbar im Körper $K$ der zyklische Unterkörper $U_{h}$ bez. $\Pi _{h}$. Zu der aus $s$ erzeugten Gruppe gehört in $K$ ein gewisser zyklischer Unterkörper $C'_{h'}$ vom Grade $l^{h-h^{\ast }}$. Die beiden Körper $U_{h}$ bez. $\Pi _{h}$ und $C'_{h'}$ haben keinen gemeinsamen Unterkörper außer dem Körper der rationalen Zahlen, und der Körper $K$ entsteht daher durch Zusammensetzung aus diesen beiden zyklischen Körpern. Damit ist der Hilfssatz 19 vollständig bewiesen.

§ 104. Beweis des Fundamentalsatzes über Abelsche Körper.

Wir beweisen nunmehr den Fundamentalsatz 131 in folgender Art. Zunächst ist in § 48 festgestellt worden, daß jeder Abelsche Körper sich aus zyklischen Körpern zusammensetzen läßt, deren Grade Primzahlen oder Primzahlpotenzen sind; es ist daher nur nötig, zu zeigen, daß jeder zyklische Körper $C_{h}$ von einem Grade $l^{h}$, wo $l$ eine Primzahl bezeichnet, ein Kreiskörper ist.

Um diesen Beweis zu führen, nehmen wir an, es sei bereits die Richtigkeit des Fundamentalsatzes 131 für alle diejenigen Abelschen Körper erkannt, deren Grad eine niedere Potenz von $l$ als $l^{h}$ ist.

Es werde nun der in $C_{h}$ enthaltene Unterkörper vom $l$-ten Grade $C_{1}$ ins Auge gefaßt. Nehmen wir an, daß die Diskriminante von $C_{1}$ eine von $l$ verschiedene rationale Primzahl $p$ enthält, so ist nach Satz 39 auch die Diskriminante von $C_{h}$ durch $p$ teilbar. Ferner existiert nach Hilfssatz 17 ein Abelscher Körper $C'_{h'}$ vom Grade $l^{h'}\leqq l^{h}$ der Art, daß $C_{h}$ Unterkörper des aus $C'_{h'}$ und dem Kreiskörper $P_{h}$ zusammengesetzten Körpers wird. Ist dann $C'_{h'}$ ein zyklischer Körper von niederem als $l^{h}$-ten Grade oder aus mehreren solchen zyklischen Körpern zusammengesetzt, so erweist sich $C'_{h'}$ auf Grund unserer Annahme als Kreiskörper, und mithin ist auch $C_{h}$ ein Kreiskörper. Es ist demnach nur noch der Fall in Betracht zu ziehen, daß $h'=h$ ausfällt und $C'_{h'}=C'_{h}$ ein zyklischer Körper vom Grade $l^{h}$ ist. Wie der vorhin angewandte Hilfssatz 17 aussagt, enthält die Diskriminante von $C'_{h}$ nur solche Primzahlen, welche in der Diskriminante von $C_{h}$ aufgehen, aber nicht die Primzahl $p$; die Diskriminante von $C'_{h}$ enthält also mindestens eine rationale Primzahl weniger als die Diskriminante von $C_{h}$.

Wir bezeichnen den Unterkörper $l$-ten Grades von $C'_{h}$ mit $C'_{1}$. Geht dann in der Diskriminante von $C'_{1}$ noch eine von $l$ verschiedene rationale Primzahl $p'$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 215. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/232&oldid=- (Version vom 31.7.2018)