Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/231

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.23

diese Gruppe erzeugt, und $z$ eine solche Substitution, welche die Gruppe des Körpers $U_{h}$ bez. $\Pi _{h}$ erzeugt. Setzen wir $t^{\ast }=t^{l^{h^{\ast }}}$ und $z^{\ast }=z^{l^{h^{\ast }}}$, so erzeugen $t^{\ast }$ und $z^{\ast }$ beide Male diejenigen Untergruppen vom Grade $l^{h-h^{\ast }}$, zu denen $L_{h^{\ast }}$ als Unterkörper einerseits von $C_{h}$, andererseits von $U_{h}$ bez. $\Pi _{h}$ gehört. Der aus $C_{h}$ und $U_{h}$ bez. $\Pi _{h}$ zusammengesetzte Körper $K$ ist in bezug auf $L_{h^{\ast }}$ vom Relativgrade $l^{2h-2h^{\ast }}$ und daher überhaupt vom Grade $l^{2h-h^{\ast }}$.

Um die Gruppe $G$ des Körpers $K$ zu ermitteln, bezeichnen wir mit $\vartheta$ eine den Körper $C_{h}$ und mit $\gamma$ eine den Körper $U_{h}$ bez. $\Pi _{h}$ bestimmende Zahl und verstehen unter $z,y$ unbestimmte Parameter. Die Größe $\Theta =x\vartheta +y\gamma$ genügt einer Gleichung vom $l^{2h-h^{\ast }}$-ten Grade, deren Koeffizienten ganzzahlige Funktionen von $x$ und $y$ sind, und Welche in dem durch die Parameter $x$ und $y$ bestimmten Rationalitätsbereich irreduzibel ist. Die verschiedenen Wurzeln dieser Gleichung sind von der Gestalt

$\Theta _{mn}=xt^{m}\vartheta +yz^{n}\gamma$,

wo $m,n$ gewisse Paare ganzer Zahlen bedeuten. Da einem bekannten Satze zufolge sowohl $\vartheta$ wie $\gamma$ sich als rationale Funktionen von $\Theta$ ausdrücken lassen, wobei die Koeffizienten ganzzahlige Funktionen von $x$ und $y$ werden, so sind auch die Größen $\Theta _{mn}$ ebenso ausdrückbar; wir setzen

$\Theta _{mn}=xt^{m}\vartheta +yz^{n}\gamma =\Phi _{mn}(\Theta ),$

wobei $\Phi _{mn}$ eine rationale Funktion von $\Theta$ bedeutet, deren Koeffizienten ganzzahlige Funktionen von $x,y$ sind. Es bezeichne nun ${\mathsf {A}}$ irgendeine Zahl in $K$ oder überhaupt eine rationale Funktion von $x,y$, deren Koeffizienten in $K$ liegen; dann wird ${\mathsf {A}}$ gleich einer rationalen Funktion $F(\Theta )$ der Größe $\Theta$, deren Koeffizienten ganzzahlige Funktionen von $x,y$ sind. Es drücken sich ferner die zu ${\mathsf {A}}$ konjugierten Größen in der Gestalt

$S_{mn}{\mathsf {A}}=F\left(\Phi _{mn}(\Theta )\right)$

aus, und das System der betreffenden $l^{2h-h^{\ast }}$ Substitutionen $S_{mn}$ bildet die Gruppe $G$ des Körpers $K$. Wegen

$S_{mn}\Theta =xS_{mn}\vartheta +yS_{mn}\gamma =xt^{m}\vartheta +yz^{n}\gamma$

wird

$S_{mn}\vartheta =t^{m}\vartheta ,\qquad S_{mn}\gamma =z^{n}\gamma$,

und hieraus folgt leicht:

$S_{mn}S_{m'n'}=S_{m+m',n+n'}$,

(41)

wenn allgemein die Festsetzung $S_{mn}=S_{m^{\ast }n^{\ast }}$ getroffen wird, falls $m\equiv m^{\ast }$ und $n\equiv n^{\ast }$ nach $l^{h}$ ist. Aus (41) folgt die Vertauschbarkeit der Substitutionen der Gruppe $G$, d. h. der Körper $K$ ist ein Abelscher Körper.

Es bezeichne $r$ eine Primitivzahl nach $l^{h}$; da insbesondere $z^{r}\gamma$ eine zu $\gamma$ konjugierte Zahl ist, so muß es jedenfalls eine Substitution in der Gruppe $G$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 214. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/231&oldid=- (Version vom 31.7.2018)