diese Gruppe erzeugt, und
eine solche Substitution, welche die Gruppe des Körpers
bez.
erzeugt. Setzen wir
und
, so erzeugen
und
beide Male diejenigen Untergruppen vom Grade
, zu denen
als Unterkörper einerseits von
, andererseits von
bez.
gehört. Der aus
und
bez.
zusammengesetzte Körper
ist in bezug auf
vom Relativgrade
und daher überhaupt vom Grade
.
Um die Gruppe
des Körpers
zu ermitteln, bezeichnen wir mit
eine den Körper
und mit
eine den Körper
bez.
bestimmende Zahl und verstehen unter
unbestimmte Parameter. Die Größe
genügt einer Gleichung vom
-ten Grade, deren Koeffizienten ganzzahlige Funktionen von
und
sind, und Welche in dem durch die Parameter
und
bestimmten Rationalitätsbereich irreduzibel ist. Die verschiedenen Wurzeln dieser Gleichung sind von der Gestalt
,
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wo
gewisse Paare ganzer Zahlen bedeuten. Da einem bekannten Satze zufolge sowohl
wie
sich als rationale Funktionen von
ausdrücken lassen, wobei die Koeffizienten ganzzahlige Funktionen von
und
werden, so sind auch die Größen
ebenso ausdrückbar; wir setzen
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wobei
eine rationale Funktion von
bedeutet, deren Koeffizienten ganzzahlige Funktionen von
sind. Es bezeichne nun
irgendeine Zahl in
oder überhaupt eine rationale Funktion von
, deren Koeffizienten in
liegen; dann wird
gleich einer rationalen Funktion
der Größe
, deren Koeffizienten ganzzahlige Funktionen von
sind. Es drücken sich ferner die zu
konjugierten Größen in der Gestalt
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aus, und das System der betreffenden
Substitutionen
bildet die Gruppe
des Körpers
. Wegen
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wird
,
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und hieraus folgt leicht:
,
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(41)
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wenn allgemein die Festsetzung
getroffen wird, falls
und
nach
ist. Aus (41) folgt die Vertauschbarkeit der Substitutionen der Gruppe
, d. h. der Körper
ist ein Abelscher Körper.
Es bezeichne
eine Primitivzahl nach
; da insbesondere
eine zu
konjugierte Zahl ist, so muß es jedenfalls eine Substitution in der Gruppe