wobei der Exponent
ausfällt und
eine nicht durch
teilbare ganze rationale Zahl bedeutet.
Wir berücksichtigen, daß nach dem Hilfssatze 15
und folglich auch
die
-te Potenz einer Zahl in
ist; wir setzen
, wo
eine Zahl des Körpers
sei. Diese Gleichung liefert die Kongruenz
nach
. Aus dieser folgt zunächst
nach
, und dies liefert
nach
. Hieraus würde endlich
nach
folgen, was unmöglich ist, da
Primitivzahl nach
sein soll und
ist. Diese Betrachtung lehrt die Richtigkeit der Kongruenz
nach
.
Wir setzen nun
in solcher Weise, daß
eine ganze Zahl in
und
eine ganze rationale Zahl bedeutet; es ist dann
nach
. Nehmen wir nun an, der Körper
sei von dem Körper
verschieden, so entsteht durch Zusammensetzung aus
‚
und
der durch
und
bestimmte Körper
vom Grade
. Es ist andererseits
, wie die Gleichung
zeigt, eine ganze Zahl des Körpers
, und die Relativdiskriminante dieser Zahl in bezug auf
ist gleich
, wo
eine Einheit ist. Da
zu
prim ist, so ist mithin die Relativdiskriminante des Körpers
in bezug auf den Körper
ebenfalls prim zu
. Bezeichnen wir daher mit
einen idealen Primfaktor von
im Körper
, so besitzt
mit Rücksicht auf Satz 93 in diesem Körper einen Trägheitskörper
, welcher den Grad
hat. Die Diskriminante dieses Trägheitskörpers
ist prim zu
, und wegen Satz 85 müßte sie daher den Wert
oder
besitzen. Daß es aber einen zyklischen Körper vom Primzahlgrade
mit der Diskriminante
nicht gibt, folgt entweder direkt aus Satz 44 oder mittels Satz 94, wenn wir den in diesem Satze 94 mit
bezeichneten Körper gleich dem Körper der rationalen Zahlen nehmen und die Tatsache berücksichtigen, daß im Körper der rationalen Zahlen alle Ideale Hauptideale sind. Damit ist der Beweis für den Hilfssatz 18 erbracht.
Hilfssatz 19. Wenn ein zyklischer Körper
vom Grade
, wo
gleich einer ungeraden Primzahl
oder gleich
ist, den Körper
bzw.
als Unterkörper enthält, so ist
Unterkörper eines solchen Körpers, welcher aus
bez.
und aus einem gewissen zyklischen Körper
von einem Grade
durch Zusammensetzung entsteht.
Beweis. Es sei
bez.
. Der größte sowohl in
als in
bez.
enthaltene Unterkörper werde mit
bezeichnet;
habe den Grad
, wo
eine positive ganze rationale Zahl
bedeutet. Es sei
eine solche Substitution aus der Gruppe des Körpers
, welche mit ihren Potenzen