und betrachte den aus
und
zusammengesetzten Körper
‚ dessen Grad
sei. In
gilt
, wo
ein Primideal in
bedeutet. Es sei
ein in
aufgehendes Primideal des Körpers
. Da das Primideal
in der Gradzahl
des Körpers
nicht aufgeht, so ist dieser Körper
Verzweigungskörper des Primideals
und als solcher nach Satz 81 relativ zyklisch, und zwar mindestens vom Relativgrade
, in bezug auf den Trägheitskörper des Primideals
, der
heiße. Da ferner zyklische Körper von höherem als dem
-ten Grade in
nicht vorkommen können, so hat
genau den Relativgrad
in bezug auf
. Hieraus folgt, daß der Körper
vom Grade
ist. Die Differente des Trägheitskörper
ist nach Satz 76 nicht durch
teilbar, und daher ist, mit Rücksicht auf Satz 68, die Diskriminante des Körpers
nicht durch
teilbar. Andererseits enthält diese Diskriminante wegen Satz 39 nur solche rationale Primzahlen, welche in der Diskriminante von
aufgehen. Endlich folgt aus Satz 87, daß der aus
und
zusammengesetzte Körper mit
übereinstimmt. Der Körper
besitzt demnach alle im Hilfssatz 17 verlangten Eigenschaften.
Hilfssatz 18. Wenn die Diskriminante eines zyklischen Körpers
von einem ungeraden Primzahlgrade
ausschließlich die Primzahl
enthält, so stimmt
mit
überein.
Beweis. Wir setzen
und,
‚ wo
eine Primitivzahl nach
bedeute. Schreiben wir überdies
, so ist
ein Primideal in
, und es wird im Sinne der Idealtheorie
; endlich gilt die Kongruenz
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Wir betrachten nun die uns durch Hilfssatz 15 angewiesene Zahl
. Da das Primideal
in
vom ersten Grade ist, so folgt, wenn
gesetzt wird, in Anbetracht der Gleichung
und nach Satz 24 die Kongruenz
nach
, wobei eine Kongruenz zwischen gebrochenen Zahlen dann bestehen soll, wenn sie sich durch Multiplikation mit einer zum Modul teilerfremden ganzen Zahl in eine gewöhnliche Kongruenz verwandeln läßt. Da
zu
prim ist, so wird der aus
und
zusammengesetzte Körper auch durch
und
bestimmt sein. Wir setzen
nach
, wo
eine ganze rationale Zahl bedeute; dann ist
nach
.
Nunmehr führen wir den Nachweis dafür, daß die Kongruenz
nach
besteht. Zu dem Zwecke nehmen wir an, es sei
nach
,