Unterkörper von
, und wir nehmen an, es gebe eine in der Diskriminante von
aufgehende ungerade Primzahl
, welche
nach
ist. Infolge der letzteren Eigenschaft ist
in
unzerlegbar. Ist nun die uns durch Hilfssatz 15 angewiesene Zahl
durch
teilbar, so bilden wir die Zahl
. Da nach Hilfssatz 15 andererseits
sein soll, wo
in
liegt, so folgt
, d. h.
. Infolgedessen ist
das Quadrat einer Zahl in
; wir können
setzen in solcher Weise, daß
eine ganze, zu
prime Zahl in
und
eine ganze rationale Zahl bedeutet. Da der Körper
mit dem Körper
übereinstimmt, und da andererseits die Relativdiskriminante der Zahl
in bezug auf
zu
prim ist, so ist auch die Relativdiskriminante des Körpers
in bezug auf
prim zu
, und hieraus folgt, daß die Diskriminante von
nicht durch
teilbar ist, entgegen der Voraussetzung.
Ist im Falle
der Exponent
, so setzen wir
. Nehmen wir dann an, es gäbe eine in der Diskriminante von
aufgehende Primzahl
nach
und
nach
, und ist
ein idealer Primfaktor von
in
, so bliebe
ungeändert bei einer Substitution
, wo
entweder
oder
zu nehmen ist; folglich wäre
. Wegen
nach
würde, ähnlich wie oben, eine Gleichung von der Gestalt:
|
|
gelten, und aus dieser schließen wir, wie vorhin bei ungeradem
, auf einen Widerspruch mit der Annahme, wonach
in der Diskriminante von
aufgeht. Damit ist der Hilfssatz 16 vollständig bewiesen.
Aus dem Hilfssatze 16 folgt ohne Schwierigkeit die weitere Tatsache:
Hilfssatz 17. Es sei
ein zyklischer Körper von einem Grade
, wo
eine beliebige Primzahl (
oder
) ist; der Unterkörper l
-ten Grades von
werde mit
bezeichnet; die Diskriminante des Körpers
enthalte die von
verschiedene Primzahl
: dann kann stets ein Abelscher Körper
von einem gewissen Grade
mit folgenden beiden Eigenschaften gefunden werden:
Erstens. Der aus
und einem gewissen Kreiskörper
zusammengesetzte Körper enthält
als Unterkörper.
Zweitens. Die Diskriminante des Körpers
enthält nur solche Primzahlen, die auch in der Diskriminante des Körpers
aufgehen, darunter aber nicht die Primzahl
.
Beweis. Nach Hilfssatz 16 besitzt die rationale Primzahl
die Kongruenzeigenschaft
nach
; man konstruiere nach § 100 den zyklischen Kreiskörper
vom Grade
, dessen Diskriminante eine Potenz von
ist,