In ähnlicher Weise erschließen wir die Richtigkeit des Hilfssatzes 16 bei ungeradem
, wenn der Exponent
angenommen wird. Es sei
‚ ferner bezeichne r eine Primitivzahl nach
, und aus der Gruppe des Körpers
sei
. Es sei
eine in der Diskriminante von
aufgehende, von
verschiedene Primzahl und
ein idealer Primfaktor von
in
. Nehmen wir
nach
, aber
nach
an, so liegt das Primideal
jedenfalls auch in dem Unterkörper
des Körpers
, d. h. es ist
, und ebenso gelten für die zu
in
konjugierten Primideale
die Gleichungen:
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Da
Primitivzahl nach
ist, so wird
nach
, und mithin lassen sich drei ganzzahlige Funktionen
der Variablen
derart bestimmen, daß
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ist; hieraus folgt alsdann, wenn
eine nach Hilfssatz 15 bestimmte Zahl bedeutet,
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wo
eine Zahl in
ist. Wegen der vorhin bewiesenen Eigenschaft der Primideale
ist
und folglich auch
eine Zahl, deren Zähler und Nenner zu
prim ausfallen. Wir können daher die letztere Zahl
setzen in solcher Weise, daß
eine ganze, zu
prime Zahl in
und
eine ganze rationale Zahl bedeutet. Es ist dann
, und daraus ergibt sich
, wo
ebenfalls in
liegt. Da der durch
und
bestimmte Körper, wie am Schlusse des § 101 bemerkt wurde, mit demjenigen Körper identisch ist, welcher durch Zusammensetzung aus
und
entsteht, und da die Relativdiskriminante der Zahl
in bezug auf
den zu
primen Wert
besitzt, so ist die Relativdiskriminante des Körpers
in bezug auf
prim zu
. Andererseits ist die Diskriminante von
ebenfalls nicht durch
teilbar, und folglich gilt das gleiche auch von der Diskriminante des Körpers
und damit auch dann von der des Körpers
. Der letztere Umstand aber widerspricht unserer Annahme.
Um die Richtigkeit des Hilfssatzes 16 für
zu erkennen, machen wir zunächst die Annahme
und wenden dann auf den zyklischen Körper
vom 4-ten Grade den Hilfssatz 15 an. Wir setzen
und betrachten aus der Gruppe von
die Substitution
. Es sei
der quadratische