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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.23

In ähnlicher Weise erschließen wir die Richtigkeit des Hilfssatzes 16 bei ungeradem $l$, wenn der Exponent $h>1$ angenommen wird. Es sei ${\mathsf {Z}}=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l^{h}}}$‚ ferner bezeichne r eine Primitivzahl nach $l^{h}$, und aus der Gruppe des Körpers $k({\mathsf {Z}})$ sei $s=\left({\mathsf {Z}}:{\mathsf {Z}}^{r}\right)$. Es sei $p$ eine in der Diskriminante von $C_{1}$ aufgehende, von $l$ verschiedene Primzahl und ${\mathfrak {p}}$ ein idealer Primfaktor von $p$ in $k({\mathsf {Z}})$. Nehmen wir $p\equiv 1$ nach $l$, aber $\not \equiv 1$ nach $l^{h}$ an, so liegt das Primideal ${\mathfrak {p}}$ jedenfalls auch in dem Unterkörper $k({\mathsf {Z}}^{l})$ des Körpers $k({\mathsf {Z}})$, d. h. es ist ${\mathfrak {p}}^{s^{l^{h-2}(l-1)}-1}=1$, und ebenso gelten für die zu ${\mathfrak {p}}$ in $k({\mathsf {Z}})$ konjugierten Primideale ${\mathfrak {p}}',{\mathfrak {p}}'',\dots$ die Gleichungen:

${\mathfrak {p}}^{\prime s^{l^{h-2}(l-1)}-1}=1,\qquad {\mathfrak {p}}^{\prime \prime s^{l^{h-2}(l-1)}-1}=1,\dots .$

Da $r$ Primitivzahl nach $l^{h}$ ist, so wird $r^{l^{h-2}(l-1)}\not \equiv 1$ nach $l^{h}$, und mithin lassen sich drei ganzzahlige Funktionen $\varphi (s),\psi (s),\chi (s)$ der Variablen $s$ derart bestimmen, daß

$l^{h-1}=\left(s^{l^{h-2}(l-1)}-1\right)\varphi (s)+(s-r)\psi (s)+l^{h}\chi (s)$

ist; hieraus folgt alsdann, wenn $\varkappa$ eine nach Hilfssatz 15 bestimmte Zahl bedeutet,

$\varkappa ^{l^{h-1}}=\varkappa ^{\left(s^{l^{h-2}(l-1)}-1\right)\varphi (s)}\alpha ^{l^{h}},$

wo $\alpha$ eine Zahl in $k({\mathsf {Z}})$ ist. Wegen der vorhin bewiesenen Eigenschaft der Primideale ${\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}',{\mathfrak {p}}'',\dots$ ist $\varkappa ^{s^{l^{h-2}(l-1)}-1}$ und folglich auch $\varkappa ^{\left(s^{l^{h-2}(l-1)}-1\right)\varphi (s)}$ eine Zahl, deren Zähler und Nenner zu $p$ prim ausfallen. Wir können daher die letztere Zahl $={\frac {\varrho }{a^{l^{h}}}}$ setzen in solcher Weise, daß $\varrho$ eine ganze, zu $p$ prime Zahl in $k({\mathsf {Z}})$ und $a$ eine ganze rationale Zahl bedeutet. Es ist dann ${\sqrt[{l}]{\varkappa }}={\frac {\alpha }{a}}{\sqrt[{l^{h}}]{\varrho }}$, und daraus ergibt sich $\varrho =\sigma ^{l^{h-1}}$, wo $\sigma$ ebenfalls in $k({\mathsf {Z}})$ liegt. Da der durch ${\mathsf {Z}}$ und ${\sqrt[{l}]{\varkappa }}$ bestimmte Körper, wie am Schlusse des § 101 bemerkt wurde, mit demjenigen Körper identisch ist, welcher durch Zusammensetzung aus $k({\mathsf {Z}})$ und $C_{1}$ entsteht, und da die Relativdiskriminante der Zahl ${\sqrt[{l}]{\sigma }}$ in bezug auf $k({\mathsf {Z}})$ den zu $p$ primen Wert $\pm l^{l}\sigma ^{l-1}$ besitzt, so ist die Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {Z}},C_{1})$ in bezug auf $k({\mathsf {Z}})$ prim zu $p$. Andererseits ist die Diskriminante von $k({\mathsf {Z}})$ ebenfalls nicht durch $p$ teilbar, und folglich gilt das gleiche auch von der Diskriminante des Körpers $k({\mathsf {Z}},C_{1})$ und damit auch dann von der des Körpers $C_{1}$. Der letztere Umstand aber widerspricht unserer Annahme.

Um die Richtigkeit des Hilfssatzes 16 für $l=2$ zu erkennen, machen wir zunächst die Annahme $h=2$ und wenden dann auf den zyklischen Körper $C_{2}$ vom 4-ten Grade den Hilfssatz 15 an. Wir setzen ${\mathsf {Z}}=\mathrm {e} ^{\frac {i\pi }{2}}=i$ und betrachten aus der Gruppe von $k({\mathsf {Z}})$ die Substitution $s'=(i:-i)$. Es sei $C_{1}$ der quadratische

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 210. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/227&oldid=- (Version vom 31.7.2018)