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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.23

Beweis. Zunächst betrachten wir den Fall, daß $l$ eine ungerade Primzahl und $h=1$ ist. Wir nehmen an, es fände sich im Gegensatz zu unserer Behauptung eine rationale, in der Diskriminante von $C_{1}$ aufgehende Primzahl $p$‚ welche $\not \equiv 1$ nach $l$ ist. Es sei $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$, ferner $r$ eine Primitivzahl nach $l$, und man nehme aus der Gruppe des Körpers $k(\zeta )$ die Substitution $s=\left(\zeta :\zeta ^{r}\right)$. Ist ${\mathfrak {p}}$ ein idealer Primfaktor von $p$ im Körper $k(\zeta )$, so ist das Primideal ${\mathfrak {p}}$, wegen $p\not \equiv 1$ nach $l$, nach Satz 119 von einem Grade $f>1$; mithin ist nach Satz 129 der Zerlegungskörper des Primideals ${\mathfrak {p}}$ von einem Grade $e<l-1$; die übrigen Primfaktoren von $p$ sind dann

${\mathfrak {p}}'=s{\mathfrak {p}},\dots ,{\mathfrak {p}}^{(e-1)}=s^{e-1}{\mathfrak {p}},$

während $s^{e}{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}$, d. h.

${\mathfrak {p}}^{s^{e}-1}=1$

(39)

wird. Desgleichen gelten auch für die zu ${\mathfrak {p}}$ konjugierten Primideale ${\mathfrak {p}}',{\mathfrak {p}}'',\dots$ die entsprechenden Gleichungen

${\mathfrak {p}}^{\prime s^{e}-1}=1,\qquad {\mathfrak {p}}^{\prime \prime s^{e}-1}=1,\dots .$

(40)

Nach Hilfssatz 15 gibt es eine ganze Zahl $\varkappa$ in $k(\zeta )$‚ so daß die beiden Zahlen $\zeta$ und ${\sqrt[{l}]{\varkappa }}$ den aus $k(\zeta )$ und $C_{1}$ zusammengesetzten Körper $k(\zeta ,C_{1})$ bestimmen, und für welche obendrein $\varkappa ^{s-r}$ gleich der $l$-ten Potenz einer Zahl in $k(\zeta )$ wird. Da $s-r$ und $s^{e}-1$ zwei ganzzahlige Funktionen von $s$ sind, welche im Sinne der Kongruenz nach $l$ keinen gemeinsamen Faktor haben, so gibt es drei ganzzahlige Funktionen $\varphi (s)$, $\psi (s)$, $\chi (s)$ der Veränderlichen $s$, so daß

$1=\left(s^{e}-1\right)\varphi (s)+(s-r)\psi (s)+l\chi (s)$

ist, und hieraus folgt

$\varkappa =\varkappa ^{\left(s^{e}-1\right)\varphi (s)+(s-r)\psi (s)+l\chi (s)}=\varkappa ^{\left(s^{e}-1\right)\varphi (s)}\alpha ^{l},$

wo $\alpha$ eine Zahl in $k(\zeta )$ ist. Wegen der vorhin bewiesenen Gleichungen (39) und (40) für die Primideale ${\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}',{\mathfrak {p}}'',\dots$ läßt sich $\varkappa ^{s^{e}-1}$ als eine solche ganze oder gebrochene Zahl schreiben, daß Zähler und Nenner keinen der Primfaktoren ${\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}',{\mathfrak {p}}'',\dots$ enthalten und daher zu $p$ prim sind; das gleiche gilt somit von der Zahl $\varkappa ^{\left(s^{e}-1\right)\varphi (s)}$. Wir setzen $\varkappa ^{\left(s^{e}-1\right)\varphi (s)}={\frac {\varrho }{a^{l}}}$ in solcher Weise, daß $\varrho$ eine ganze, zu $p$ prime Zahl in $k(\zeta )$ und $a$ eine ganze rationale Zahl bedeutet. Der Körper $k(\zeta ,C_{1})$ wird dann auch durch die beiden Zahlen $\zeta$ und ${\sqrt[{l}]{\varrho }}$ bestimmt. Die Relativdiskriminante der Zahl ${\sqrt[{l}]{\varrho }}$ in bezug auf $k(\zeta )$ ist $=\pm l^{l}\varrho ^{l-1}$, und da $\varrho$ zu $p$ prim ist, so ist mithin auch die Relativdiskriminante von $k(\zeta ,C_{1})$ in bezug auf $k(\zeta )$ prim zu $p$. Da andererseits auch die Diskriminante von $k(\zeta )$ nicht durch $p$ teilbar ist, so ist nach Satz 39 auch die Diskriminante von $k(\zeta ,C_{1})$ und folglich nach Satz 85 auch die Diskriminante des Körpers $C_{1}$ prim zu $p$‚ was unserer Annahme widerspricht.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 209. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/226&oldid=- (Version vom 31.7.2018)