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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.23

Um den Beweis dieses fundamentalen Satzes vorzubereiten, erinnern wir daran, daß nach § 48 jeder Abelsche Körper sich aus solchen zyklischen Körpern zusammensetzen läßt, bei denen die Grade Primzahlen oder Primzahlpotenzen sind. Wir konstruieren nun folgende besonderen zyklischen Körper. Es bedeute $u$ eine ungerade Primzahl und $u^{h}$ eine Potenz derselben mit positivem Exponenten; dann ist der durch $\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{u^{h+1}}}$ bestimme Körper $k\left(\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{u^{h+1}}}\right)$ ein zyklischer Körper vom $u^{h}(u-1)$-ten Grade. Der zyklische Unterkörper vom $u^{h}$-ten Grade dieses Körpers werde mit $U_{h}$ bezeichnet. Ferner bestimmt die Zahl $\mathrm {e} ^{\frac {i\pi }{2^{h+1}}}+\mathrm {e} ^{\frac {-i\pi }{2^{h+1}}}$ einen reellen zyklischen Körper vom $2^{h}$-ten Grade. Dieser Körper werde mit $II_{h}$ bezeichnet. Endlich sei $l^{h}$ eine Potenz einer beliebigen Primzahl $l$($=2$ oder $\neq 2$) und außerdem $p$ eine Primzahl mit der Kongruenzeigenschaft $p\equiv 1$ nach $l^{h}$; dann besitzt der Kreiskörper $k\left(\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{p}}\right)$ vom Grade $p-1$ offenbar einen zyklischen Unterkörper vom Grade $l^{h}$. Dieser zyklische Körper $l^{h}$-ten Grades werde mit $P_{h}$ bezeichnet. Die Körper $U_{h}$, $II_{h}$, $P_{h}$ sind Kreiskörper bez. von den Graden $u^{h}$, $2^{h}$, $l^{h}$; die Diskriminanten dieser Körper $U_{h}$, $II_{h}$, $P_{h}$ sind infolge der Sätze 39 und 121 Potenzen bez. der Primzahlen $u$, $2$, $p$. Daß es bei jeder Annahme von $l^{h}$ Primzahlen $p$ mit der Kongruenzeigenschaft $p\equiv 1$ nach $l^{h}$ gibt, steht nach der letzten Bemerkung in § 97 fest, kommt jedoch hier nicht in Frage.

Wir werden in den folgenden Paragraphen zeigen, daß jeder Abelsche Körper als Unterkörper in einem solchen Körper enthalten ist, der durch Zusammensetzung aus $k(i)$ und geeigneten Körpern $U_{h}$, $II_{h}$, $P_{h}$ entsteht. Zu diesem Nachweise ist eine Reihe von Hilfsbetrachtungen vorauszuschicken.

§ 101. Ein allgemeiner Hilfssatz über zyklische Körper.

Hilfssatz 15. Wenn ein zyklischer Körper $C_{h}$ von einem Grade $l^{h}$, wo $l$ eine beliebige Primzahl ($=2$ oder $\neq 2$) ist, nicht den betreffenden Körper $U_{1}$ bez. $II_{1}$ als Unterkörper enthält, so entsteht durch Zusammensetzung von $C_{h}$ mit dem durch ${\mathsf {Z}}=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l^{h}}}$ bestimmten Körper $k({\mathsf {Z}})$ ein Körper $k\left({\mathsf {Z}},C_{h}\right)$ vom Grade $l^{2h-1}(l-1)$, und es gibt dann stets in $k({\mathsf {Z}})$ eine ganze Zahl $\varkappa$ mit folgenden Eigenschaften: der Körper $k\left({\mathsf {Z}},C_{h}\right)$ ist auch durch die Zahlen ${\mathsf {Z}}$ und ${\sqrt[{l^{h}}]{\varkappa }}$ bestimmt; bezeichnet $r$ eine beliebige nicht durch $l$ teilbare ganze rationale Zahl, und wird aus der Gruppe des Körpers $k({\mathsf {Z}})$ die Substitution

$s=\left({\mathsf {Z}}:{\mathsf {Z}}^{r}\right)$

ins Auge gefaßt, so ist $\varkappa ^{s-r}$ die $l^{h}$-te Potenz einer Zahl in $k({\mathsf {Z}})$.

Beweis. Die erste Behauptung über den Grad von $k({\mathsf {Z}},C_{h})$ folgt unmittelbar daraus, daß $k({\mathsf {Z}})$ und $C_{h}$ außer dem Körper der rationalen Zahlen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 207. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/224&oldid=- (Version vom 31.7.2018)