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Primzahlen als teilbar ist; es trifft dann dieser Satz für den Kreiskörper zu, der durch die -ten Einheitswurzeln bestimmt ist. Danach sind dann Zähler und Nenner des auf der rechten Seite von (37) stehenden Bruches für sich Einheiten. Der Ausdruck (36) ist ein Faktor des Produktes auf der linken Seite von (37) und daher gleichfalls in jedem Falle eine Einheit. Damit ist der Satz 126 vollständig bewiesen.

Von einer jeden beliebigen Einheit eines Kreiskörpers gilt die Tatsache, daß sie gleich dem Produkte aus einer Einheitswurzel und einer reellen Einheit ist. Die Einheitswurzel liegt dabei nicht notwendig immer in dem Körper selbst, sondern kann, wenn verschiedene Primzahlen enthält, bei geradem eine -te‚ bei ungeradem eine -te Einheitswurzel sein [Kronecker (7)]. Wir sprechen insbesondere die folgende, schon von Kummer erkannte Tatsache aus:

Satz 127. Bezeichnet eine ungerade Primzahl, und betrachten wir in dem durch bestimmten Kreiskörper den durch bestimmten reellen Unterkörper vom Grade , so ist ein beliebiges System von Grundeinheiten dieses reellen Körpers stets auch für den Körper ein System von Grundeinheiten.

Beweis. Ist eine beliebige Einheit in so ist eine solche Einheit in die selbst und deren Konjugierte sämtlich den absoluten Betrag besitzen, und sie stellt daher nach Satz 48 eine Einheitswurzel dar; wir setzen wo eine ganze Zahl sei. Die Einheit besitzt dann die Eigenschaft:

(38)

In dieser Formel (38) kann rechter Hand nur das positive Vorzeichen gelten. Anderenfalls nämlich wäre eine rein imaginäre Einheit; dann setzen wir so daß eine Einheit des reellen Unterkörpers wird. Die Relativdifferente der Zahl in bezug auf den reellen Unterkörper ist und mithin prim zu . Demnach müßte auch die Relativdifferente des Körpers in bezug auf den Körper prim zu sein. Bedeutet nun ein beliebiges in aufgehendes Primideal des reellen Körpers so würde daher nach Satz 93 dieses Ideal nicht gleich dem Quadrate eines Primideals des Körpers sein. Da aber in höchstens zur -ten Potenz vorkommt, so fände sich diese letzte Folgerung in Widerspruch mit dem Satze 117 über die Zerlegung der Zahl im Körper also gilt in der Tat auf der rechten Seite der Formel (38) das obere Vorzeichen.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 204. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/221&oldid=- (Version vom 31.7.2018)