Die Diskriminante des Körpers der -ten Einheitswurzeln ergibt sich durch die erste Aussage in Satz 88.
Endlich kann auf Grund des Satzes 88 unter Zuhilfenahme der Eigenschaften der Zerlegungs- und der Trägheitskörper die Zerlegung einer rationalen Primzahl im Körper ausgeführt werden. Man erhält so den Satz:
Satz 125. Ist eine in nicht aufgehende rationale Primzahl und der kleinste positive Exponent, für welchen nach ausfällt, und wird dann gesetzt, so findet im Kreiskörper der -ten Einheitswurzeln die Zerlegung
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statt, wo , …, voneinander verschiedene Primideale -ten Grades in sind.
Ist ferner eine Potenz von , und wird gesetzt, so findet im Körper der -ten Einheitswurzeln die Zerlegung
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statt, , …, voneinander verschiedene Primideale -ten Grades in sind [Kummer (15)‚ Dedekind (5), Weber (4)].
Zum Beweise des Satzes 125 nehmen wir der Kürze wegen an und bezeichnen dann die Kreiskörper der -ten, -ten Einheitswurzeln mit bez. . Ferner sei eine von , verschiedene rationale Primzahl und , seien je ein idealer Primfaktor von bez. in den Körpern , ; wir bezeichnen in , die Zerlegungskörper der Primideale , bez. mit , . Es seien , die kleinsten Exponenten, für welche nach bzw. nach ausfällt, und es möge
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gesetzt werden: dann sind , bez. die Grade der Körper , und
, der Relativgrad von in bezug auf bez. der Relativgrad von in bezug auf . Nach Satz 88 zerfällt die rationale Primzahl in dem aus , zusammengesetzten Körper in Ideale; diese sind daher sämtlich Primideale ersten Grades in . Wir betrachten unter diesen insbesondere das Primideal und bezeichnen mit einen Primfaktor von in dem aus , zusammengesetzten Körper ; es sei , der Zerlegungskörper des Primideals in . Es folgt zunächst aus der Definition der Zerlegungskörper, daß entweder mit , übereinstimmen oder in als Unterkörper enthalten sein muß. Die Relativgruppe des aus , zusammengesetzten Körpers in bezug auf ist zyklisch vom Grade ; die Relativgruppe des aus , zusammengesetzten Körpers in bezug auf ist zyklisch vom Grade . Wir entnehmen hieraus, daß, wenn das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen , bedeutet, die Relativgruppe von in bezug auf keine zyklische Untergruppe von höherem