geschlossen werden, wo
,
gesetzt ist und in den Produkten
alle zu
primen Zahlen
und
zu durchlaufen hat.
Durch dieselbe Überlegung wie in § 91 folgt hieraus, daß der Grad des Körpers
mindestens
ist, und damit zugleich, daß er genau diesen Wert hat.
§ 96.
Die Basis und die Diskriminante des Kreiskörpers der
-ten Einheitswurzeln.
Satz 121. In dem durch
bestimmten Kreiskörper
der
-ten Einheitswurzeln bilden die Zahlen
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, , , …,
|
eine Basis; die Diskriminante dieses Körpers ist
|
,
|
wo für
oder
nach
das Vorzeichen — und sonst das Vorzeichen
gilt.
Satz 122. Ist
eine von
verschiedene rationale Primzahl und
der kleinste positive Exponent, für welchen
nach
ausfällt, und wird
gesetzt, so findet in
die Zerlegung
|
|
statt, wo
, …,
voneinander verschiedene Primideale
-ten Grades in
sind.
Die beiden Sätze 121 und 122 werden genau in der entsprechenden Weise bewiesen, wie die für den Körper
aufgestellten Sätze 118 und 119.
§ 97.
Der Kreiskörper der
-ten Einheitswurzeln. Der Grad, die Diskriminante und die Primideale dieses Körpers.
Jetzt sei
ein Produkt aus Potenzen verschiedener Primzahlen, etwa
…. Der nach § 94 definierte Kreiskörper
der
-ten Einheitswurzeln entsteht dann, wie dort ausgeführt worden ist, durch Zusammensetzung der Kreiskörper
,
, … der
-ten, der
-ten‚ … Einheitswurzeln. Da die Diskriminanten der letzteren Kreiskörper zueinander prim sind, so folgt aus Satz 87 (§ 52) unmittelbar die Tatsache:
Satz 123. Der Grad des Körpers
der
…-ten Einheitswurzeln ist:
|
.
|
Wenden wir die zweite Aussage in Satz 88 auf die Kreiskörper
‚
, … an und beachten den Satz 121, so folgt das weitere Resultat:
Satz 124. Der Kreiskörper
der
-ten Einheitswurzeln besitzt die Basis:
|
, , , …, .
|