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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.22

geschlossen werden, wo $\Lambda =1-{\mathsf {Z}}$, ${\mathfrak {L}}=(\Lambda )$ gesetzt ist und in den Produkten $g$ alle zu $l$ primen Zahlen $>0$ und $<l^{h}$ zu durchlaufen hat.

Durch dieselbe Überlegung wie in § 91 folgt hieraus, daß der Grad des Körpers $k({\mathsf {Z}})$ mindestens $=l^{h-1}(l-1)$ ist, und damit zugleich, daß er genau diesen Wert hat.

§ 96. Die Basis und die Diskriminante des Kreiskörpers der $l^{h}$-ten Einheitswurzeln.

Satz 121. In dem durch ${\mathsf {Z}}=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l^{h}}}$ bestimmten Kreiskörper $k({\mathsf {Z}})$ der $l^{h}$-ten Einheitswurzeln bilden die Zahlen

$1$, ${\mathsf {Z}}$, ${\mathsf {Z}}^{2}$, …, ${\mathsf {Z}}^{l^{h-1}(l-1)-1}$

eine Basis; die Diskriminante dieses Körpers ist

$d=\pm l^{l^{h-1}(hl-h-1)}$,

wo für $l^{h}=4$ oder $l\equiv 3$ nach $4$ das Vorzeichen — und sonst das Vorzeichen $+$ gilt.

Satz 122. Ist $p$ eine von $l$ verschiedene rationale Primzahl und $f$ der kleinste positive Exponent, für welchen $p^{f}\equiv 1$ nach $l^{h}$ ausfällt, und wird $l^{h-2}(l-1)=ef$ gesetzt, so findet in $k({\mathsf {Z}})$ die Zerlegung

$p={\mathfrak {P}}_{1}\ldots {\mathfrak {P}}_{e}$

statt, wo ${\mathfrak {P}}_{1}$, …, ${\mathfrak {P}}_{e}$ voneinander verschiedene Primideale $f$-ten Grades in $k({\mathsf {Z}})$ sind.

Die beiden Sätze 121 und 122 werden genau in der entsprechenden Weise bewiesen, wie die für den Körper $k(\zeta )$ aufgestellten Sätze 118 und 119.

§ 97. Der Kreiskörper der $m$-ten Einheitswurzeln. Der Grad, die Diskriminante und die Primideale dieses Körpers.

Jetzt sei $m$ ein Produkt aus Potenzen verschiedener Primzahlen, etwa $m=l_{1}^{h_{1}}l_{2}^{h_{2}}$ …. Der nach § 94 definierte Kreiskörper $k({\mathsf {Z}})$ der $m$-ten Einheitswurzeln entsteht dann, wie dort ausgeführt worden ist, durch Zusammensetzung der Kreiskörper $k({\mathsf {Z}}_{1})$, $k({\mathsf {Z}}_{2})$, … der $l_{1}^{h_{1}}$-ten, der $l_{2}^{h_{2}}$-ten‚ … Einheitswurzeln. Da die Diskriminanten der letzteren Kreiskörper zueinander prim sind, so folgt aus Satz 87 (§ 52) unmittelbar die Tatsache:

Satz 123. Der Grad des Körpers $k({\mathsf {Z}})$ der $m=l_{1}^{h_{1}}l_{2}^{h_{2}}$ …-ten Einheitswurzeln ist:

${\boldsymbol {\Phi (m)}}=l_{1}^{h_{1}-1}(l_{1}-1)l_{2}^{h_{2}-1}(l_{2}-1)\ldots$.

Wenden wir die zweite Aussage in Satz 88 auf die Kreiskörper $k({\mathsf {Z}}_{1})$‚ $k({\mathsf {Z}}_{2})$, … an und beachten den Satz 121, so folgt das weitere Resultat:

Satz 124. Der Kreiskörper $k({\mathsf {Z}})$ der $m$-ten Einheitswurzeln besitzt die Basis:

$1$, ${\mathsf {Z}}$, ${\mathsf {Z}}^{2}$, …, ${\mathsf {Z}}^{\Phi (m)-1}$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 200. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/217&oldid=- (Version vom 31.7.2018)