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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.22

wird von einer jeden ganzen Zahl des Körpers $k(\zeta )$ erfüllt. Die Anzahl der nach ${\mathfrak {p}}$ einander inkongruenten Wurzeln dieser Kongruenz (34) ist daher gleich der Anzahl der vorhandenen nach ${\mathfrak {p}}$ inkongruenten ganzen Zahlen, d. h. $=n({\mathfrak {p}})=p^{f'}$, wenn mit $f'$ der Grad des Primideals ${\mathfrak {p}}$ bezeichnet wird. Nun ist der Grad der Kongruenz (34) $p^{f}$; nach Satz 26 folgt daher $p^{f'}\leqq p^{f}$, d. h. $f'\leqq f$.

Andererseits ist nach Satz 24, dem verallgemeinerten Fermatschen Satze, gewiß

$\zeta ^{p^{f'-1}}\equiv 1,\qquad ({\mathfrak {p}}).$

(35)

Da nach Formel (31) für einen nicht durch $l$ teilbaren Exponenten $g$ die Zahl $1-\zeta ^{g}$ stets zu ${\mathfrak {p}}$ prim ist, so folgt aus der Kongruenz (35): $p^{f'}-1\equiv 0$ nach $l$, und damit $f'\geqq f$. Wir schließen nunmehr $f'=f$, d. h. jedes in $p$ aufgehende Primideal hat den Grad $f$.

Da $p$ nicht in der Diskriminante des Körpers $k(\zeta )$ aufgeht, so folgt nach Satz 31, daß $p$ in lauter voneinander verschiedene Primideale zerfällt. Setzen wir etwa $p={\mathfrak {p}}_{1}\dots {\mathfrak {p}}_{e'}$, so wird $n(p)=p^{l-1}=p^{e'f}$, d. h. $l-1=e'f$, $e'=e$. Damit ist der Beweis des Satzes 119 vollständig erbracht.

Zur wirklichen Aufstellung der Primideale ${\mathfrak {p}}_{1}$, …‚ ${\mathfrak {p}}_{e}$ wenden wir den Satz 33 an und berücksichtigen die im Anschluß daran auf S. 91 gemachte Bemerkung. Danach gilt identisch in $x$ nach $p$ eine Zerlegung

$F(x)\equiv F_{1}(x)\dots F_{e}(x),\qquad (p),$

wo $F_{1}(x)$, …,$F_{e}(x)$ ganze nach $p$ irreduzible und einander inkongruente Funktionen vom $f$-ten Grade in $x$ mit ganzen rationalen Koeffizienten bedeuten. Nach Bestimmung dieser Funktionen erhalten wir die gewünschte Darstellung in den folgenden Formeln

${\mathfrak {p}}_{1}=\left(p,F_{1}(\zeta )\right),\ \ldots ,\ {\mathfrak {p}}_{e}=\left(p,F_{e}(\zeta )\right).$

22. Die Einheitswurzeln für einen zusammengesetzten Wurzelexponenten $m$ und der durch sie bestimmte Kreiskörper.

§ 94. Der Kreiskörper der $m$-ten Einheitswurzeln.

Es bedeute $m$ eine beliebige positive ganze rationale Zahl, und es werde

${\mathsf {Z}}=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{m}}$ gesetzt. Die Gleichung $m$-ten Grades

$x^{m}-1=0$

besitzt die $m$ Wurzeln

${\mathsf {Z}},\ {\mathsf {Z}}^{2},\ \ldots ,\ {\mathsf {Z}}^{m-1},\ {\mathsf {Z}}^{m}=1.$

Diese Zahlen heißen die ${\boldsymbol {m}}$-ten Einheitswurzeln; der durch sie bestimmte Körper werde mit $k({\mathsf {Z}})$ bezeichnet und der Kreiskörper der $m$-ten Einheitswurzeln genannt.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 198. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/215&oldid=- (Version vom 31.7.2018)