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wird von einer jeden ganzen Zahl des Körpers erfüllt. Die Anzahl der nach einander inkongruenten Wurzeln dieser Kongruenz (34) ist daher gleich der Anzahl der vorhandenen nach inkongruenten ganzen Zahlen, d. h. , wenn mit der Grad des Primideals bezeichnet wird. Nun ist der Grad der Kongruenz (34) ; nach Satz 26 folgt daher , d. h. .

Andererseits ist nach Satz 24, dem verallgemeinerten Fermatschen Satze, gewiß

(35)

Da nach Formel (31) für einen nicht durch teilbaren Exponenten die Zahl stets zu prim ist, so folgt aus der Kongruenz (35): nach , und damit . Wir schließen nunmehr , d. h. jedes in aufgehende Primideal hat den Grad .

Da nicht in der Diskriminante des Körpers aufgeht, so folgt nach Satz 31, daß in lauter voneinander verschiedene Primideale zerfällt. Setzen wir etwa , so wird , d. h. , . Damit ist der Beweis des Satzes 119 vollständig erbracht.

Zur wirklichen Aufstellung der Primideale , …‚ wenden wir den Satz 33 an und berücksichtigen die im Anschluß daran auf S. 91 gemachte Bemerkung. Danach gilt identisch in nach eine Zerlegung

wo , …, ganze nach irreduzible und einander inkongruente Funktionen vom -ten Grade in mit ganzen rationalen Koeffizienten bedeuten. Nach Bestimmung dieser Funktionen erhalten wir die gewünschte Darstellung in den folgenden Formeln

22. Die Einheitswurzeln für einen zusammengesetzten Wurzelexponenten und der durch sie bestimmte Kreiskörper.

§ 94. Der Kreiskörper der -ten Einheitswurzeln.

Es bedeute eine beliebige positive ganze rationale Zahl, und es werde

gesetzt. Die Gleichung -ten Grades

besitzt die Wurzeln

Diese Zahlen heißen die -ten Einheitswurzeln; der durch sie bestimmte Körper werde mit bezeichnet und der Kreiskörper der -ten Einheitswurzeln genannt.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 198. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/215&oldid=- (Version vom 31.7.2018)